Correzione integrale

[Marco Beta2]

Buongiorno a tutti, prima di passare all'integrazione per sostituzione ho fatto qualche esercizio risolvibile con gli integrali fondamentali e vorrei chiedervi di correggermi quello di seguito perchè non so se ho effettuato bene i passaggi...

$ int (tg^2 x +1) * tg 2x dx = int(tg^2 x +1) * (2tg x )/(1-tg^2 x) dx = - int (tg^2 x +1)* (2tg x)/(tg^2 x +1) dx = -ln|tg^2 x +1| + c$

Libro: $ -ln|1-tg^2 x| +c $

Grazie in anticipo

[gugo82]

Come nasce quel meno davanti all'integrale al terzo membro?

Inoltre, $tan^2 x + 1 = 1/(cos^2 x)$, che ti serve come il pane...

[Marco Beta2]

"gugo82":Come nasce quel meno davanti all'integrale al terzo membro?

ciao gugo82, ho sbagliato a portare fuori il meno perchè avrei dovuto cambiare segno a tutto il denominatore... Stavo pensando quindi di rifare così:
$ int (tg^2 x + 1)*(2tg x)/(1-tg^2 x) dx = int (tg^2 x + 1)-(2tg x)/(-tg^2 x + 1) dx $ adesso secondo il mio ragionamento vado a vedere la frazione come $(f'(x))/f(x)$ e sfruttando l'integrale fondamentale ottengo $ - ln|f(x)|+c$ ovvero $ - ln|-tg^2 + 1|+c$ o $ -ln|1-tg^2 x|+c$ dove il meno davanti il logaritmo è dato proprio dal fatto di avere al denominatore $-tg^2 x$

P.s.
Grazie per $ tg^2 x + 1 =1/cos^2 x $

[pilloeffe]

Ciao Marco Beta2,

Mi sa che hai sbagliato di nuovo...

Farei così:

$ \int (tan^2 x + 1) tan(2x) dx = \int (tan^2 x +1) * (2tan x )/(1-tan^2 x) dx = $
$ = - \int \frac{2 tan x \cdot (tan^2 x + 1)}{tan^2 x - 1} dx = - ln|tan^2 x - 1| + c $

ove l'ultimo integrale è proprio del tipo $ \int \frac{f'(x)}{f(x)} dx = ln|f(x)| + c $ con $f(x) := tan^2 x - 1 $

[Marco Beta2]

"pilloeffe":Ciao Marco Beta2,

Mi sa che hai sbagliato di nuovo...

Farei così:

$ \int (tan^2 x + 1) tan(2x) dx = \int (tan^2 x +1) * (2tan x )/(1-tan^2 x) dx = $
$ = - \int \frac{2 tan x \cdot (tan^2 x + 1)}{tan^2 x - 1} dx = - ln|tan^2 x - 1| + c $

ove l'ultimo integrale è proprio del tipo $ \int \frac{f'(x)}{f(x)} dx = ln|f(x)| + c $ con $f(x) := tan^2 x - 1 $

Ciao pilloeffe e grazie per la tua soluzione. Ti volevo chiedere una cosa che forse sarà banale... Questi due risultati sono uguali?
$ - ln|tan^2 x - 1| + c $ e $ -ln|1-tg^2 x|+ c$

Li ho provati su wolfram alpha e il grafico è identico, il risultato che mi fornisce differisce solo per un $ - $ davanti la frazione.

P.s.
queste formule che ho recuperato facendo eserici sono tutte corrette?
$ tg^2 x + 1 = 1/(cos^2 x) $
$ tg^2 x + 1 = sec^2 x $
$ 1/(cos^2 x )=tg x $
$ 1/(cos x)=sec x $
$ cot x = 1/(tg x)$ e $ cot^2 x= 1/(tg^2 x) $

[pilloeffe]

"Marco Beta2":Questi due risultati sono uguali? [...]

Beh, c'è il modulo... Ti rispondo con una domanda: $|x^2 - 1| = |1 - x^2| $ ?

"Marco Beta2":P.s.
queste formule che ho recuperato facendo esercizi sono tutte corrette?

Tutte corrette tranne la terza, nella quale manca il simbolo di derivata:

$ 1/cos^2 x = D[tan x] $

[Marco Beta2]

"pilloeffe":[quote="Marco Beta2"]Questi due risultati sono uguali? [...]

Beh, c'è il modulo... Ti rispondo con una domanda: $|x^2 - 1| = |1 - x^2| $ ?

"Marco Beta2":P.s.
queste formule che ho recuperato facendo esercizi sono tutte corrette?

Tutte corrette tranne la terza, nella quale manca il simbolo di derivata:

$ 1/cos^2 x = D[tan x] $[/quote]


Ciao pilloeffe e grazie per avermi corretto le formule e ricordato cosa fà il modulo, infatti come ho letto quella riga si è saltato alla mente come un lampo... purtroppo sto recuperando il recuperabile e alcune cose mi sfuggono
Grazie ancora per la disponibilità