Correzione integrale

[Mr.Mazzarr]

Ragazzi vi chiedo di dirmi dove è l'errore che non riesco a trovare in questo integrale!

$\int_0^1 (arctg (sqrt(x))/(sqrt(x+1)) dx$

Applico la seguente trasformazione: $sqrt(x+1)=t$ . $x=t^2-1$ . $sqrt(x)=sqrt(t^2-1)$ . $dx=2t*dt$.

$\int_0^1 2*arctg(sqrt(t^2-1)) dt$

$2*\int_0^1 1*arctg(sqrt(t^2-1))dt$ applico la regola di integrazione per parti, con $1=d(t)$ :

$2 [ t*arctg(sqrt(t^2-1) ] - \int_0^1 1/(sqrt(t^2-1) dt$

Qui mi sono bloccato, non so se c'è qualche errore. Ho provato a fare un'altra integrazione per parti, con risultati molto scarsi. Come posso muovermi ora?

[theras]

Fà attenzione,che le sostituzioni negli integrali definiti riguardano anche gli estremi,non soltanto le funzioni integrande:
inoltre mi pare,ad occhio,che tu abbia scordato qualche fattore quando hai derivato il fattore finito di quell'integrazione per parti..
Saluti dal web.

[Mr.Mazzarr]

Sì giusto. Comunque io ho scritto già il risultato dell'integrazione per parti, poichè venivano molte cose che si eliminavano.

[ciampax]

Mi sembra di aver capito che l'integrale è questo:

$\int_0^1 \frac{\arctan(\sqrt{x})}{\sqrt{x+1}}\ dx$

corretto? Bé, se quando applichi la sostituzione non cambi anche gli estremi di integrazione ti metti nei guai! Poiché $t=\sqrt{x+1}$ allora $x=0\ \to\ t=1,\ x=1\ \to\ t=\sqrt{2}$ e pertanto l'integrale risulta

$\int_1^{\sqrt{2}} 2\arctan(\sqrt{t^2-1})\ dt=2\{[t\arctan(\sqrt{t^2-1})]_1^{\sqrt{2}}-\int_1^{\sqrt{2}}\frac{1}{\sqrt{t^2-1}}\ dt\}$

Per il secondo integrale la sostituzione $\sqrt{t^2-1}=t-y$ conduce a $-1=-2yt+y^2$ e quindi $t=\frac{y^2+1}{2y}=y/2+1/{2y}$. Ne segue che

$dt=1/2-1/{2y^2}\ dy=\frac{y^2-1}{2y^2}\ dy=$

e

$\sqrt{t^2-1}=\frac{y^2+1}{2y}-y=\frac{1-y^2}{2y}$

Inoltre $t=1\ \to\ y=1,\quad t=\sqrt{2}\ \to\ y=\sqrt{2}-1$ e quindi abbiamo

$=2\{\sqrt{2}\arctan(1)-\arctan(0)-\int_1^{\sqrt{2}-1}\frac{2y}{1-y^2}\cdot\frac{y^2-1}{2y^2}\ dy\}=$

$=2\{\frac{\sqrt{2} \pi}{4}-\int_1^{\sqrt{2}-1} -1/y\ dy\}=2\{\frac{\sqrt{2} \pi}{4}+[\log|y|]_1^{\sqrt{2}-1}\}=\frac{\sqrt{2} \pi}{2}+2\log(\sqrt{2}-1)$

P.S.: per il calcolo dell'integrale si poteva usare anche la sostituzione $t=\ch y$, ma sarebbe stato un po' più rognoso determinare gli estremi di integrazione.