Correzione esercizio sui numeri complessi
Ciao a tutti! Ho difficoltà a rappresentare un insieme complesso così definito:
\(\displaystyle A := \left\{\forall \ z \ \epsilon \ C : \Im \left( \frac{z}{\bar{z}} - \frac{i}{z} \right)>0 \right\} \)
Dalla relazione algebrica \(\displaystyle z = a+ib \) per cui sostituisco e "razionalizzo" il numero complesso moltiplicando numeratore e denominatore per \(\displaystyle a-ib \) nella prima frazione e per \(\displaystyle a+ib \) nella seconda, di conseguenza:
\(\displaystyle \Im \left( \frac{z}{\bar{z}} - \frac{i}{z} \right) = \Im \left( \frac{a^2-b^2+i2ab}{a^2-b^2} - \frac{ai-b}{a^2-b^2} \right) \)
A questo punto sommo i numeratori
\(\displaystyle \Im \left( \frac{a^2-b^2+i2ab}{a^2-b^2} - \frac{ai-b}{a^2-b^2} \right) = \Im \left( \frac{a^2-b-b^2 +i(2ab+a)}{a^2-b^2} \right) \)
Ora prendo la parte immaginaria
\(\displaystyle \left( \frac{2ab+a}{a^2-b^2} \right) \)
Ora dovrei studiare la positività, ma prima sostituisco a con x e b con y per semplicità:
\(\displaystyle \begin{cases} 2xy+x>0 \\ x^2>y^2 \end{cases} \)
Quindi
\(\displaystyle \begin{cases} y>-\frac{1}{2} \\ x^2-y^2>0 \end{cases} \)
Di seguito la rappresentazione è la parte di piano sopra \(\displaystyle y=-1/2 \) da cui devo "togliere" di una circonferenza di raggio 1 con centro sull'origine. E' corretto?
Grazie mille in anticipo
\(\displaystyle A := \left\{\forall \ z \ \epsilon \ C : \Im \left( \frac{z}{\bar{z}} - \frac{i}{z} \right)>0 \right\} \)
Dalla relazione algebrica \(\displaystyle z = a+ib \) per cui sostituisco e "razionalizzo" il numero complesso moltiplicando numeratore e denominatore per \(\displaystyle a-ib \) nella prima frazione e per \(\displaystyle a+ib \) nella seconda, di conseguenza:
\(\displaystyle \Im \left( \frac{z}{\bar{z}} - \frac{i}{z} \right) = \Im \left( \frac{a^2-b^2+i2ab}{a^2-b^2} - \frac{ai-b}{a^2-b^2} \right) \)
A questo punto sommo i numeratori
\(\displaystyle \Im \left( \frac{a^2-b^2+i2ab}{a^2-b^2} - \frac{ai-b}{a^2-b^2} \right) = \Im \left( \frac{a^2-b-b^2 +i(2ab+a)}{a^2-b^2} \right) \)
Ora prendo la parte immaginaria
\(\displaystyle \left( \frac{2ab+a}{a^2-b^2} \right) \)
Ora dovrei studiare la positività, ma prima sostituisco a con x e b con y per semplicità:
\(\displaystyle \begin{cases} 2xy+x>0 \\ x^2>y^2 \end{cases} \)
Quindi
\(\displaystyle \begin{cases} y>-\frac{1}{2} \\ x^2-y^2>0 \end{cases} \)
Di seguito la rappresentazione è la parte di piano sopra \(\displaystyle y=-1/2 \) da cui devo "togliere" di una circonferenza di raggio 1 con centro sull'origine. E' corretto?
Grazie mille in anticipo

Risposte
Quel $a^2-b^2$ a denominatore mi sembra proprio un grave errore. La norma al quadrato di $z$ è $a^2+b^2$. Per cui mi sa proprio che i conti non tornano. Il numero complesso tra parentesi può essere scritto come
$$\frac{z^2-i\bar{z}}{|z|^2}=\frac{x^2+2ixy-y^2-ix-y}{x^2+y^2}$$
per cui la parte immaginaria risulta $\frac{2xy-x}{x^2+y^2}=\frac{x(2y-1)}{x^2+y^2}$. Ora, tale quantità, a patto che $(x,y)\ne(0,0)$ e quindi che $z\ne 0$, risulta positiva quando $x(2y-1)>0$. Tale condizione implica che devi prendere i seguenti insiemi:
$$A=\left\{(x,y)\in \mathbb{R}^2\ :\ x>0,\ y>\frac{1}{2}\right\},\qquad B=\left\{(x,y)\in\mathbb{R}^2\ :\ x<0,\ y<\frac{1}{2}\right\}$$
dove $A$ rappresenta la porzione di piano a destra dell'asse $y$ sopra la retta $y=1/2$, mentre $B$ la porzione di piano a sinistra dell'asse $y$ sotto la retta $y=1/2$.
EDIT: TeM, mi hai anticipato!
$$\frac{z^2-i\bar{z}}{|z|^2}=\frac{x^2+2ixy-y^2-ix-y}{x^2+y^2}$$
per cui la parte immaginaria risulta $\frac{2xy-x}{x^2+y^2}=\frac{x(2y-1)}{x^2+y^2}$. Ora, tale quantità, a patto che $(x,y)\ne(0,0)$ e quindi che $z\ne 0$, risulta positiva quando $x(2y-1)>0$. Tale condizione implica che devi prendere i seguenti insiemi:
$$A=\left\{(x,y)\in \mathbb{R}^2\ :\ x>0,\ y>\frac{1}{2}\right\},\qquad B=\left\{(x,y)\in\mathbb{R}^2\ :\ x<0,\ y<\frac{1}{2}\right\}$$
dove $A$ rappresenta la porzione di piano a destra dell'asse $y$ sopra la retta $y=1/2$, mentre $B$ la porzione di piano a sinistra dell'asse $y$ sotto la retta $y=1/2$.
EDIT: TeM, mi hai anticipato!
Grazie mille delle vostre risposte! Il segno è dovuto al fatto che ho sbagliato a prendere appunti e ingenuamente ho fatto lo stesso errore nelle dimostrazioni delle formule (che stranamente non venivano XD)
Grazie ancora
Grazie ancora
