Correzione esercizio serie numerica con parametro
Potreste dare uno sguardo a questo svolgimento e dirmi se ho fatto tutto bene?
Devo studiare il carattere della seguente serie numerica al variare di $x\inR$
$sum_(n=1)^(+oo) x^n*n*sin(1/(2n^2+1))$
Poiché $sin(1/(2n^2+1))>=0 \forall n\in N, n>=1$, posso dire che:
Se $x>=0$ la serie è a termini non negativi
Se $x<0$ la serie è a segni alterni
Studio l'assoluta convergenza e per confronto asintotico ho che per $n->+oo$
$|x^n*n*sin(1/(2n^2+1))|"~" |(x^n*n)/(2n^2+1)|$
per il criterio della radice n-sima ho che:
$lim"sup"_(n->+oo) root(n)(|(x^n*n)/(2n^2+1)|)=lim"sup"_(n->+oo) |x|*root(n)(1/(2n^2+1))=|x|$
Se $x>1$ la serie converge e per il criterio del confronto asintotico anche la serie iniziale converge (assolutamente)
Se $x<1$ la serie non converge e poiché è a segni positivi allora diverge positivamente
Se $x=1$ la serie $sum_(n=1)^(+oo) x^n*n*sin(1/(2n^2+1))$ ha lo stesso carattere di $sum_(n=1)^(+oo) 1/n$ che diverge
Se $x=-1$ la serie è a segni alterni. Studio l'assoluta convergenza di $sum_(n=1)^(+oo) (-1)^n*n*sin(1/(2n^2+1))$ e trovo che la serie ha lo stesso carattere di $1/n$ che è divergente quindi è divergente per $x=-1$ (Forse non posso concludere nulla perché la serie è a segni alterni e non positivi?)
Conclusione per $x>1$ converge, $x<=1$ diverge
Grazie mille!
Devo studiare il carattere della seguente serie numerica al variare di $x\inR$
$sum_(n=1)^(+oo) x^n*n*sin(1/(2n^2+1))$
Poiché $sin(1/(2n^2+1))>=0 \forall n\in N, n>=1$, posso dire che:
Se $x>=0$ la serie è a termini non negativi
Se $x<0$ la serie è a segni alterni
Studio l'assoluta convergenza e per confronto asintotico ho che per $n->+oo$
$|x^n*n*sin(1/(2n^2+1))|"~" |(x^n*n)/(2n^2+1)|$
per il criterio della radice n-sima ho che:
$lim"sup"_(n->+oo) root(n)(|(x^n*n)/(2n^2+1)|)=lim"sup"_(n->+oo) |x|*root(n)(1/(2n^2+1))=|x|$
Se $x>1$ la serie converge e per il criterio del confronto asintotico anche la serie iniziale converge (assolutamente)
Se $x<1$ la serie non converge e poiché è a segni positivi allora diverge positivamente
Se $x=1$ la serie $sum_(n=1)^(+oo) x^n*n*sin(1/(2n^2+1))$ ha lo stesso carattere di $sum_(n=1)^(+oo) 1/n$ che diverge
Se $x=-1$ la serie è a segni alterni. Studio l'assoluta convergenza di $sum_(n=1)^(+oo) (-1)^n*n*sin(1/(2n^2+1))$ e trovo che la serie ha lo stesso carattere di $1/n$ che è divergente quindi è divergente per $x=-1$ (Forse non posso concludere nulla perché la serie è a segni alterni e non positivi?)
Conclusione per $x>1$ converge, $x<=1$ diverge
Grazie mille!
Risposte
Attenzione che per il criterio della radice vale il contrario di quello che hai scritto ovvero è per $abs(x) <1$ che la serie converge (d'altronde è banale vedere che per x=0 la serie converge).
Inoltre per $x=-1$ puoi provare con il criterio di Leibniz per verificare la convergenza.
Inoltre per $x=-1$ puoi provare con il criterio di Leibniz per verificare la convergenza.
Accidenti che errore sciocco 
Avevo pensato al criterio di Liebniz però non avevo idea di come calcolare la monotonia, la derivata prima della funzione associata non mi sembrava fattibile e tanto meno studiare $a_(n+1)<=a_n$ quindi l'avevo accantonato
Grazie per la risposta!
Avevo pensato al criterio di Liebniz però non avevo idea di come calcolare la monotonia, la derivata prima della funzione associata non mi sembrava fattibile e tanto meno studiare $a_(n+1)<=a_n$ quindi l'avevo accantonato
Grazie per la risposta!
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