Correzione esercizio massima e minima distanza con lagrangiane

[umbe14]

Salve, non avendo le soluzioni, volevo chiedere se quelle da me trovate sono giuste/se ce ne siano altre.
Si trovino i punti della curva ottenuta intersecando la sfera di equazione
$ x^2 + y^2 + z^2 = 6 $
con il piano di equazione
$ x + y + z = 0 $
aventi minima e massima distanza dal punto $ (1, 1, 0) $.
Il sistema con le derivate parziali (in $x, y, z, \lambda e \mu$) delle lagrangiane e della minima distanza lo ho così impostato:
${2x = 2\lambda x + \mu$
${2y = 2\lambda y + \mu$
${2z = 2\lambda z + \mu$
${x^2+y^2+z^2-6=0$
${x+y+z=0$
Le soluzioni da me trovate, vedendo dalle prime tre equazioni che $ x=y=z $, sono state, dalla quarta equazione, $ x= +- sqrt2 $. Di conseguenza, i punti candidati trovati sono $P = (-sqrt2; -sqrt2; -sqrt2)$ e $P_1 = (sqrt2; sqrt2; sqrt2)$. E' corretto o ci sono altre soluzioni?

[gugo82]

La funzione da massimizzare/minimizzare sui vincoli è:
\[
f(x,y,z) = (x-1)^2+(y-1)^2+z^2
\]
(quadrato della distanza da $(1,1,0)$).

[umbe14]

Appunto, dico, quindi il sistema di derivate dovrebbe essere quello che ho scritto, giusto? La derivata in x della funzione distanza è $2x$, quella in y $2y$ e quella in z $2z$. Ho sbagliato ad impostare il sistema?

[gugo82]

Sbagli a derivare.

[umbe14]

Ah già, che scemo derivata di $(x-1)^2$ corrisponde a scrivere derivata di $x^2+1-2x$ che è uguale a $2x-2$. Qui ho cannato, vero?