Correzione esercizio funzione, è giusto? :P
Salve volevo proporvi questo svolgimento per l'esercizio, è corretto?
Grazie anticipatamente.
Esercizio
Data la funzione:
$f(x)={(2+log(x),if x in(0,1)),( \alpha x^2 + \beta x,if x>=1):}$
( Non so perchè non mi da il sistema a due righe :S ma si dovrebbe capire
)
Determinare $ \alpha $ e $ \beta$ in modo che:
a) f risulti continua in x=1
b) f risulti derivabile in x=1
Ecco il mio svolgimento:
$ f(1) = \alpha + \beta $
$\lim_{x \to \1_-}(2+log(x)) = 2$
$\lim_{x \to \1_+} ( \alpha x^2 + \beta x) = \alpha + \beta$
Ricavo quindi la mia prima equazione per il sistema risolutivo, ovvero: $ \alpha + \beta= 2 $ (equazione per la continuità)
Passando alla derivabilità risolvo come segue:
$f'_+(x)= 2 \alpha x + \beta$
$f'_-(x)= 2+1/x$
$\lim_{x \to \1_+} f'_+(x)= 2 \alpha + \beta$
$\lim_{x \to \1_-} f_-(x)= 3$
Ricavando così la mia seconda equazione per il sistema, ovvero: $ 2 \alpha + \beta = 3 $ (equazione per la derivabilità)
Mettendo a sistema le due equazioni ottengo quindi $ \alpha= 1 $ e $ \beta= 1 $
è corretto lo svolgimento?
Grazie anticipatamente.
Esercizio
Data la funzione:
$f(x)={(2+log(x),if x in(0,1)),( \alpha x^2 + \beta x,if x>=1):}$
( Non so perchè non mi da il sistema a due righe :S ma si dovrebbe capire
)Determinare $ \alpha $ e $ \beta$ in modo che:
a) f risulti continua in x=1
b) f risulti derivabile in x=1
Ecco il mio svolgimento:
$ f(1) = \alpha + \beta $
$\lim_{x \to \1_-}(2+log(x)) = 2$
$\lim_{x \to \1_+} ( \alpha x^2 + \beta x) = \alpha + \beta$
Ricavo quindi la mia prima equazione per il sistema risolutivo, ovvero: $ \alpha + \beta= 2 $ (equazione per la continuità)
Passando alla derivabilità risolvo come segue:
$f'_+(x)= 2 \alpha x + \beta$
$f'_-(x)= 2+1/x$
$\lim_{x \to \1_+} f'_+(x)= 2 \alpha + \beta$
$\lim_{x \to \1_-} f_-(x)= 3$
Ricavando così la mia seconda equazione per il sistema, ovvero: $ 2 \alpha + \beta = 3 $ (equazione per la derivabilità)
Mettendo a sistema le due equazioni ottengo quindi $ \alpha= 1 $ e $ \beta= 1 $
è corretto lo svolgimento?
Risposte
è corretto
Solo una osservazione: per "pignoleria" la verifica della derivabilità l'avrei fatta attraverso la definizione, ovvero calcolando i limiti destro e sinistro del rapporto incrementale della funzione nel punto $1$.
certo sarebbe stato un metodo molto più corretto del mio, anche se entrambi funzionali 
ma siamo nella matematica dove più precisi siamo meglio è 
ti ringrazio del dettaglio
ma siamo nella matematica dove più precisi siamo meglio è ti ringrazio del dettaglio
C'è di più: se io in un compito vedo l'esercizio risolto come hai fatto tu, non metto il voto massimo (anche se è formalmente tutto corretto)! 
Sisi per carità so che è scritto molto male, ma purtroppo non sono ancora molto pratico del linguaggio matematico online, inoltre come si vede ho scritto il necessario per far capire cosa stavo svolgendo
No, non hai capito: intendevo dire che l'esercizio lo hai fatto correttamente, ma il metodo per ottenere il punteggio massimo è quello di farlo con il limite del rapporto incrementale, che non lascia adito a dubbi. Per come lo svolgi tu, dovresti prima far vedere che effettivamente
$f'_{+}(1)=\lim_{x\to 1^+} f'_{+}(x)=\lim_{h\to 0^+}\frac{f(1+h)-f(1)}{h}$ (e analogamente per quello sinistro)
e questa cosa non è banale perché, implicitamente, in quel limite al centro, stai supponendo di poter invertire 2 limiti (la derivata è il limite del rapporto incrementale. E questo non è vero in assoluto: ad esempio se consideri la funzione $f(x,y)=x/y$ e calcoli il limite per $(x,y)\to (0,0)$ si ha
$\lim_{y\to 0}\lim_{x\to 0} x/y=\lim_{y\to 0} 0=0$
$\lim_{x\to 0}\lim_{y\to 0}x/y=\lim_{x\to 0} \infty=\infty$
(ho usato un "abuso" di notazione nel secondo, solo per farti comprendere il senso di ciò che sto dicendo) e come vedi non è detto che invertire i due limiti sia sempre possibile. In questo caso accade... ma dovresti dimostrare il perché!
$f'_{+}(1)=\lim_{x\to 1^+} f'_{+}(x)=\lim_{h\to 0^+}\frac{f(1+h)-f(1)}{h}$ (e analogamente per quello sinistro)
e questa cosa non è banale perché, implicitamente, in quel limite al centro, stai supponendo di poter invertire 2 limiti (la derivata è il limite del rapporto incrementale. E questo non è vero in assoluto: ad esempio se consideri la funzione $f(x,y)=x/y$ e calcoli il limite per $(x,y)\to (0,0)$ si ha
$\lim_{y\to 0}\lim_{x\to 0} x/y=\lim_{y\to 0} 0=0$
$\lim_{x\to 0}\lim_{y\to 0}x/y=\lim_{x\to 0} \infty=\infty$
(ho usato un "abuso" di notazione nel secondo, solo per farti comprendere il senso di ciò che sto dicendo) e come vedi non è detto che invertire i due limiti sia sempre possibile. In questo caso accade... ma dovresti dimostrare il perché!
ah ecco, ho capito, io invece mi riferivo all'ordine dell'esercizio dato che è molto disordinato nel mio post, comunque sia ora che lo so lo svolgerò sempre con il rapporto incrementale grazie del consiglio
grazie del consiglio
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