Correzione e chiarimento TEOREMA DI ROLLE
ciao fantastici sto affrontando lo studio del teorema di Rolle...dunque l'esercizio è:
f(x)=x^4-2x^2 [-1,1]
ho verficato ipotesi e tesi tutto ok...come valori ho trovato
a=0
b=1
c=-1
fin qui tutto giusto ma non ho capito perchè la tesi è soddisfatta solo per a=0?????? perchè qualcuno potrebbe spiegarmelo???
f(x)=x^4-2x^2 [-1,1]
ho verficato ipotesi e tesi tutto ok...come valori ho trovato
a=0
b=1
c=-1
fin qui tutto giusto ma non ho capito perchè la tesi è soddisfatta solo per a=0?????? perchè qualcuno potrebbe spiegarmelo???
Risposte
Spiegati meglio, per cortesia. Cosa sarebbero $a$, $b$, e $c$?
E poi, cosa chiede l'esercizio?
E poi, cosa chiede l'esercizio?
"rita21":
ciao fantastici sto affrontando lo studio del teorema di Rolle...dunque l'esercizio è:
f(x)=x^4-2x^2 [-1,1]
ho verficato ipotesi e tesi tutto ok...come valori ho trovato
a=0
b=1
c=-1
fin qui tutto giusto ma non ho capito perchè la tesi è soddisfatta solo per a=0?????? perchè qualcuno potrebbe spiegarmelo???
lo $0$ è l'unica soluzione accettabile perchè è l'unico punto interno all'intervallo che sia soluzione dell'equazione $f '(x)=0$
cosa vuol dire che sia soluzione della disequazione?
comunque a , b,c sono generici per indicare i punti..
comunque a , b,c sono generici per indicare i punti..
Ma insomma, si può sapere cosa chiede l'esercizio?
la tesi del teorema di rolle dice che esiste almeno un punto c, interno all'intervallo in cui si considera la funzione ,per il quale $f '(c)=0$
quindi ,in questi esercizi sono accettabili solo le soluzioni interne all'intervallo
per il resto dell'uditorio :
in questi tipi di esercizi si dà una funzione $y=f(x)$ definita in un intervallo $[a,b]$ e si chiede di verificare se valgono le ipotesi del teorema di Rolle. In caso affermativo,si chiede di trovare tutti i punti garantiti dalla tesi,cioè quelli interni all'intervallo nei quali si annulla la derivata
quindi ,in questi esercizi sono accettabili solo le soluzioni interne all'intervallo
per il resto dell'uditorio :
in questi tipi di esercizi si dà una funzione $y=f(x)$ definita in un intervallo $[a,b]$ e si chiede di verificare se valgono le ipotesi del teorema di Rolle. In caso affermativo,si chiede di trovare tutti i punti garantiti dalla tesi,cioè quelli interni all'intervallo nei quali si annulla la derivata
QUINDI NON GLI ESTREMI ANCHE SE INCLUSI?
no ,perchè gli estremi non sono interni all'intervallo
edit :perchè urli ?
edit :perchè urli ?
NON HO CAPITO NIENTE!!!!!!!!
e questo è abbastanza grave
Anche se è già stato ricordato riporto il:
Teorema di Rolle
Sia $f(x) $ una funzione continua in $[a,b] $ e derivabile nei punti interni a tale intervallo, la quale assuma valori uguali negli estremi : $f(a) = f(b) $ .
Allora esiste almeno un punto $ xi $ interno all'intervallo $[a,b] $ nel quale la derivata della funzione si annulla, risulta cioè : $f '(xi )=0 $
L'interpretazione geometrica del teorema di Rolle è semplice .
Se si considera il grafico di una funzione $f(x) $ , con $f(a)=f(b) $ , il teorema di Rolle ci assicura dell'esistenza di almeno un punto in cui la tangente è parallela all'asse $x$. Questo risultato è intuitivo ( naturalmente il teorema va dimostrato ) : si noti però che ciò non avviene , in generale, se manca la derivata in qualche punto interno ad $[a,b]$ , ad esempio in qualche punto angoloso .
Esempio classico $y=|x| $ in $[-1,1 ] $ .Si ha che la funzione è continua e che $f(-1)=f(1) $ ma non esiste alcun punto in cui la tangente sia parallela all'asse $x $ .Infatti cade una ipotesi, quella della derivabilità in tutti i punti dell'intervallo, essendo $x=0 $ un punto angoloso.
Teorema di Rolle
Sia $f(x) $ una funzione continua in $[a,b] $ e derivabile nei punti interni a tale intervallo, la quale assuma valori uguali negli estremi : $f(a) = f(b) $ .
Allora esiste almeno un punto $ xi $ interno all'intervallo $[a,b] $ nel quale la derivata della funzione si annulla, risulta cioè : $f '(xi )=0 $
L'interpretazione geometrica del teorema di Rolle è semplice .
Se si considera il grafico di una funzione $f(x) $ , con $f(a)=f(b) $ , il teorema di Rolle ci assicura dell'esistenza di almeno un punto in cui la tangente è parallela all'asse $x$. Questo risultato è intuitivo ( naturalmente il teorema va dimostrato ) : si noti però che ciò non avviene , in generale, se manca la derivata in qualche punto interno ad $[a,b]$ , ad esempio in qualche punto angoloso .
Esempio classico $y=|x| $ in $[-1,1 ] $ .Si ha che la funzione è continua e che $f(-1)=f(1) $ ma non esiste alcun punto in cui la tangente sia parallela all'asse $x $ .Infatti cade una ipotesi, quella della derivabilità in tutti i punti dell'intervallo, essendo $x=0 $ un punto angoloso.
non ho capito che intendi!
grazie camillo! ma a livello pratico una volta trovato il punto c, come faccio a capire se è accettabile o meno?
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