Correzione di alcuni punti dello studio di funzione

[ing.cane]

Buon pomeriggio ^-^
un esercizio mi chiede di studiare la seguente funzione:
$f=|x-x^2|/(x+1)$

allora, in breve ho fatto così:
1) la f(-x)=-f(x) ==> è dispari

2)D=R\{-1}

3) studio il modulo :
$|x-x^2|>0$ se $0 $|x-x^2|<0$ se $x<0$ e $x>1$

4)segno: per studiare il numeratore uso i risultati ottenuti dal modulo, denominatore invece $x>-1$ e metto a sistema

5) limiti alla frontiera (e qua incominciano gli impicci !! ):
$x=-1^+$ asintoto verticale per $f-> +oo$
$x=-1^-$ asintoto verticale per $f-> +oo$
$y=x-2$ a.obliquo per x--> +oo e per x-->-oo

Tali risultati sono incongruenti con il segno della funzione

6)x=0,1 sono punti angolosi

7) segno f':
f'>0 <=> $x<-1-(2)^(1/2)$; $01$
quindi f'<0 nel resto dei punti
e ho solo max e min relativi per la funzione non è limitata superiormente nè inferiormente

8)codominio= (0,1]
praticamente ho ragionato così:
$y=|x-x^2|/(x+1)$ per cui y deve essere [0,1]
$x=1/y^(1/2)$ (più o meno)
affinchè ciò sia pssibile y>0
Da cui
(0,1]



è corretto? vi ringrazio!!!!!!!!!!!

[Ziben]

ciao,
1) sei sicuro che $f$ sia dispari? a me risulta una funzione nè pari nè dispari. Prova a postare i passaggi che hai fatto.

3) non ho capito bene cosa hai fatto, mi sembra che tu abbia studiato il segno del valore assoluto, cosa inutile dato che è sempre positivo, al più nullo come avviene per $x=0$ e $x=1$.

4) per quello detto al punto 3) per studiare il segno della funzione basta studiare il segno del denominatore; la funzione è positiva per $x+1>0$ cioè per $x> -1$

4) $lim_(x->1^+)f(x)=+oo$
$lim_(x->1^-)f(x)=-oo$

8) se al punto 7) affermi che la funzione non è limitata superiormente nè inferiormente come fa il codomino ad essere l'intervallo $(0,1]$?

[ing.cane]

allora:
ok, riguardo il segno e il fatto che f sia dispari ho capito gli errori

per il codominio io non ho ragionato sul grafico perchè pensavo che dal grafico si evincesse l'immagine della funzione e non il codominio
.... quindi come l'ho fatto io è sbagliato?

[Ziben]

In breve: solitamente si descrive una funzione $f$ come un'applicazione tra un insieme $X$ e un insieme $Y$, scrivendo $f:X->Y$. L'insieme $X$ è detto Dominio mentre l'insieme $Y$ è detto codominio. In genere non tutti gli elementi $y in Y$ provengono da elementi $x in X$ tramite la $f$, quelli lo sono costituiscono un insieme chiamato Immagine di $f$. In generale quindi codominio e Immagine possono essere diversi. Quando però ti viene richiesto di trovare il codominio si intende che tu debba trovare l'immagine della funzione utilizzando il temine codominio come sinonimo di immagine.