Correttezza nello studio del limite in più variabili

[zio_mangrovia]

dato $lim_{(x,y)\to(0,0)}xyln(x^2+y^2)$

se faccio il limite $lim_{(x,y)\to(x,0)}xyln(x^2+y^2)$ e $lim_{(x,y)\to(0,y)}xyln(x^2+y^2)$ ottengo sempre $0$

negli appunti di uno studente trovo lo sviluppo con le coordinate polari

$lim_{(rho,theta)\to(0,0)}rho^2sin(theta)cos(theta)ln(rho^2) = 0 * 0 * 1 * \infty$

dove:

$rho^2 = 0$
$sin(theta) = 0$
$cos(theta) = 1$
$ln(rho^2) = \infty$

dubbi:

[list=1]
[*:3vgbaq1n] $ln(rho^2)$ non fa $-\infty$ se $rho->0$ ?![/*:m:3vgbaq1n]
[*:3vgbaq1n] Perché $theta$ è stato considerato $0$ ? Tanto per prendere un valore arbitrario? Il concetto di intorno con coordinate polari lo capisco come $rho->0$ ma con angolo compreso in $[0-2pi]$[/*:m:3vgbaq1n]
[*:3vgbaq1n] Io avrei fatto così:
$lim_{(rho,theta)\to(0,theta)}rho^2sin(theta)cos(theta)ln(rho^2) = sin(theta)cos(theta)2rhorholnrho$

so che $lim_{rho->0}rholnrho=0$ per cui:

$sin(theta)cos(theta)2rhorholnrho=sin(theta)cos(theta)2rho * 0=sin(theta)cos(theta)2* 0 * 0= 0$[/*:m:3vgbaq1n][/list:o:3vgbaq1n]

alla fine concludo che $theta$ è ininfluente nel calcolo del limite perché il prodotto viene sempre zero.

Cosa ne pensate del mio ragionamento e di quello riportato negli appunti?

[otta96]

"zio_mangrovia":1) $ln(rho^2)$ non fa $-\infty$ se $rho->0$ ?!

Si.

2) Perché $theta$ è stato considerato $0$ ? Tanto per prendere un valore arbitrario? Il concetto di intorno con coordinate polari lo capisco come $rho->0$ ma con angolo compreso in $[0-2pi]$

Perché lui ha scritto $(\rho,\theta)->(0,0)$, cosa assolutamente senza senso, ma che fa capire perché $\theta$ sia diventato $0$.

3) Io avrei fatto così:
$lim_{(rho,theta)\to(0,theta)}rho^2sin(theta)cos(theta)ln(rho^2) = sin(theta)cos(theta)2rhorholnrho$

so che $lim_{rho->0}rholnrho=0$ per cui:

$sin(theta)cos(theta)2rhorholnrho=sin(theta)cos(theta)2rho * 0=sin(theta)cos(theta)2* 0 * 0= 0$

E avresti fatto bene.

Cosa ne pensate del mio ragionamento e di quello riportato negli appunti?

Il tuo è giusto, quello degli appunti è sbagliato.

[dissonance]

"zio_mangrovia":
negli appunti di uno studente trovo lo sviluppo con le coordinate polari

$lim_{(rho,theta)\to(0,0)}rho^2sin(theta)cos(theta)ln(rho^2) = 0 * 0 * 1 * \infty$

dove:

$rho^2 = 0$
$sin(theta) = 0$
$cos(theta) = 1$
$ln(rho^2) = \infty$

Mi raccomando non scrivere una porcheria del genere in un esame. Un correttore severo potrebbe togliere molti punti. Quelli sono tutti limiti, non identità.