Correttezza limite di successione

[giupar93]

Salve a tutti ragazzi, ho questo limite:
$ lim_(n->oo) (1+logn)/(sqrt(n)-logn) $

è una forma indeterminata $oo/oo$. con i seguenti passaggi cerco di sciogliere l'indeterminazione:

$ lim_(n->oo) (1+logn)/(sqrt(n)-logn) = (n(1/n+logn/n))/(n(sqrt(n)/n-logn/n)) $

abbiamo al numeratore:

·$1/n ->0$

·$logn/n ->0$

e al denominatore:

·$sqrt(n)/n ->0$

·$logn/n ->0$

Quindi posso dire che l'intero limite converge a zero.

Ho sbagliato qualche passaggio?

p.s ho dedotto che $logn/n ->0$ perché:

$ lim_(n->oo) (logn)/(n) = (logn +1-1)/n = 0$

è giusto?

Spero di essere stato chiaro, buona giornata a tutti

[marco.ceccarelli]

OK, o più semplicemente

$lim_(n rarr infty)(1+lnn)/(n^(1/2)+lnn)=lim_(n rarr infty)(lnn)/(n^(1/2))=0$

in cui ho considerato le quantità che vanno a $infty$ più velocemente.

[giupar93]

Ottimo!!! , ma è giusto fare il ragionamento:
$ lim_(n->oo) (logn)/(n) = (logn +1-1)/n = 0$

[marco.ceccarelli]

Non lo capisco. Spiegalo meglio.

[giupar93]

ok ci provo. In pratica aggiungengo e togliendo 1, non ho alterato il limite, però mi sono ricondotto ad un limite notevole
$ lim_(n->oo) log(n +1)/n = 1$

il -1 è una successione costante a -1, quindi tutto il limite va a 0.

[marco.ceccarelli]

No. Il $+1$ non è argomento di $ln$.

[giupar93]

AH..quindi quali sarebbero i passaggi per risolvere:

$lim_(n->oo) (logn)/n$ ?

[marco.ceccarelli]

Nessuno. Dinsegna sul piano $xy$ le funzioni $f(x)=lnx,g(x)=x$. Quale va ad infinito più velocemente? La seconda. Visto che sta a denominatore, il denominatore sarà infinito quando il numeratore ancora è finito, e qualsiasi numero diviso per infinito dà zero. Il concetto è questo, in soldoni. Poi in realtà c'è una "scala di infiniti" che trovi su internet, ad esempio.

[giupar93]

ho capito...Grazie mille