Correttezza formale della scrittura di un integrale di linea
Per dimostrare il teorema della energia cinetica devo fare alcuni passaggi formali con gli integrali di linea; il mio problema non è legato alla dimostrazione quanto alla correttezza formale della scrittura riguardante il seguente integrale di linea:
$\int_A^B _\gamma\vec F *d\vec r$
La domanda è quindi: posso scrivere gli estremi di integrazione oltre ad indicare che l'integrale deve essere calcolato lungo la linea $\gamma$.
Con tale scrittura giungo rapidamente alla dimostrazione del teorema, senza la scrittura degli estremi non saprei a che punto inserirli nella dimostrazione.
P.S. Lo so che è una domanda banale ma non avendo ancora affrontato il corso di analisi II e avendo visto, spesso, scritto l'integrale di linea senza gli estremi di integrazione mi è sorto il dubbio che la scrittura sopra fosse formalmente scorretta.
Grazie a tutti
$\int_A^B _\gamma\vec F *d\vec r$
La domanda è quindi: posso scrivere gli estremi di integrazione oltre ad indicare che l'integrale deve essere calcolato lungo la linea $\gamma$.
Con tale scrittura giungo rapidamente alla dimostrazione del teorema, senza la scrittura degli estremi non saprei a che punto inserirli nella dimostrazione.
P.S. Lo so che è una domanda banale ma non avendo ancora affrontato il corso di analisi II e avendo visto, spesso, scritto l'integrale di linea senza gli estremi di integrazione mi è sorto il dubbio che la scrittura sopra fosse formalmente scorretta.
Grazie a tutti
Risposte
No, non ha senso. Se la linea inizia dal punto A e va al punto B è pur sempre la linea $\gamma$. Cioé dire che l'integrale è su $\gamma$ fornisce già tutte le informazioni. D'altra parte se la linea è già in qualche modo "segnata" allora non ha senso metterla. In questo caso $dr$ fornisce già tutte le informazioni.
Per cui scrivo l'integrale di linea senza gli estremi di integrazione e una volta giunto alla fine della dimostrazione ovvero quando devo trarre la conclusione che tale lavoro è uguale alla differenza di energia cinetica tra il punto A e il punto B inserisco i due valori di A e B. Posso farlo perchè ho postulato che $\gamma$ va da A a B.
Giusto?
Lo so che questa seconda parte sembra più una richiesta di fisica, ma alla fine il mio problema non è altro che scrivere correttamente da un punto di vista matematico i passaggi, è per questo che scrivo in questa sezione.
Giusto?
Lo so che questa seconda parte sembra più una richiesta di fisica, ma alla fine il mio problema non è altro che scrivere correttamente da un punto di vista matematico i passaggi, è per questo che scrivo in questa sezione.
Premessa - Non ti scervellare troppo: non troverai maì una maniera di rendere formalmente corretta questa dimostrazione, perché è una tipica dimostrazione da fisico, funzionale ma matematicamente errata. (H. Schey chiama queste dimostrazioni physicist's rough'n'ready proofs).
Detto questo, veniamo alla tua domanda. Quando si scrive un integrale, in genere si indica nel pedice il dominio di integrazione: nel tuo caso il dominio è $gamma$, che contiene già l'informazione su quali siano gli estremi del dominio. Quindi non sarebbe giusto aggiungerceli, ma aggiungendoli si rende il tutto molto più leggibile, quindi perché non farlo?
Detto questo, veniamo alla tua domanda. Quando si scrive un integrale, in genere si indica nel pedice il dominio di integrazione: nel tuo caso il dominio è $gamma$, che contiene già l'informazione su quali siano gli estremi del dominio. Quindi non sarebbe giusto aggiungerceli, ma aggiungendoli si rende il tutto molto più leggibile, quindi perché non farlo?
Io non direi che non è corretto sottointendere la curva [tex]$\gamma$[/tex]... Dipende dalla situazione in cui uno si trova.
Ad esempio, se il campo [tex]$\overrightarrow{F}$[/tex] è conservativo (ossia è dotato di una primitiva di classe [tex]$C^1$[/tex]), allora è un fatto noto che il suo integrale curvilineo non dipende dal percorso ma solo dai punti iniziale e finale di tale percorso.
Pertanto anziché denotare l'integrale col simbolo canonico [tex]$\int_\gamma \overrightarrow{F} \cdot \text{d} \overrightarrow{r}$[/tex], si può scegliere di usare il simbolo [tex]$\int_A^B \overrightarrow{F} \cdot \text{d} \overrightarrow{r}$[/tex] per mettere in evidenza i punti [tex]$A,\ B$[/tex] da cui effettivamente il valore dell'integrale dipende.
Ad esempio, se il campo [tex]$\overrightarrow{F}$[/tex] è conservativo (ossia è dotato di una primitiva di classe [tex]$C^1$[/tex]), allora è un fatto noto che il suo integrale curvilineo non dipende dal percorso ma solo dai punti iniziale e finale di tale percorso.
Pertanto anziché denotare l'integrale col simbolo canonico [tex]$\int_\gamma \overrightarrow{F} \cdot \text{d} \overrightarrow{r}$[/tex], si può scegliere di usare il simbolo [tex]$\int_A^B \overrightarrow{F} \cdot \text{d} \overrightarrow{r}$[/tex] per mettere in evidenza i punti [tex]$A,\ B$[/tex] da cui effettivamente il valore dell'integrale dipende.
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