Correttezza esercizio su integrale improprio

[davide940]

devo verificare se questo integrale converge o diverge, non è richiesto di calcolarlo
$ int_(0)^(oo) sin^2(x) dx $
devo calcolare il limite
$ lim_(M -> oo) int_(0)^(M) sin^2(x) dx $
che è uguale a:
$ lim_(M -> oo) int_(0)^(M) (1-cos(2x))/2 dx $
risulta
$ lim_(M -> oo) 1/2 M - 1/4 sin(2M) = oo $
l'integrale quindi diverge.
E' corretto il procedimento oppure bisogna usare il teorema del confronto? In tal caso io avevo pensato di dire che il $ sin^2(x) <= 1 $ però mi risulta che l'integrale è < di un integrale divergente quindi il risultato non dice nulla

[asker993]

bhè, secondo me è "ovvio" che diverge...cioè, dato che è $sen^(2)x$ graficamente vuol dire che il grafico non andrà mai negativo, cioè $f(x)>=0$ e si sa come si comporta il seno all'infinito...è una funzione periodica che non convergerà mai perciò per forza di cose non è integrabile...comunque, per $x->0$ converge ed è integrabile ma per $x->infinito$ non lo è...perciò dato che non c'è intersezione non è integrabile...
Se vuoi fare tutti i passaggi fai integrale da 0 ad a + integrale da a a +infinito e vedi come si comporta agli estremi...

[ciampax]

Io farei una cosa più semplice. Osserva che la funzione $\sin^2 x$ è periodica di periodo $\pi$ (per convincersene, basta farne un disegno) e osserva ancora che $\int_0^\pi \sin^2 x\ dx=\pi/2$. Dal momento che $[0,+\infty)=\cup_{k=0}^\infty [k\pi,(k+1)\pi)$ l'integrale si può scrivere come
$$I=\int_0^\infty \sin^2\ dx=\sum_{k=0}^\infty\int_{k\pi}^{(k+1)\pi}\ sin^2 x\ dx$$
Ma $\int_{k\pi}^{(k+1)\pi}\sin^2 x\ dx=\int_o^\pi\sin^2 x\ dx=\pi/2$ a causa della periodicità, pertanto $I=\sum_{k=0}^\infty \pi/2$, che, ovviamente, risulta una serie divergente.