Corretta notazione
Buongiorno a tutti, posto un limite che ho già risolto, ma siccome è richiesta anche una spiegazione man mano che si procede con la risoluzione, vorrei chiarire alcuni punti.
$ lim_(x -> +oo ) log (5-cosx) / (x^3+senx^2 ) $
Allora, devo studiare separatamente Numeratore e Denominatore.
Il denominatore è composto dalla funzione senX^2 che per $ xrarr +oo $ non ha limite, mentre $ x^3 $ dà come risultato infinito. Quindi al denominatore il limite ha come risultato infinito.
Per il numeratore studio prima l'argomento, quindi $ 5-cos x $ , dove la funzione coseno come il seno non ha limite. A questo punto $ log (5-cos x) $ per $ xrarr +oo $ come devo scrivere che si comporta? Che anche esso non ha limite perchè dato il suo argomento oscilla in un intervallo?
$ lim_(x -> +oo ) log (5-cosx) / (x^3+senx^2 ) $
Allora, devo studiare separatamente Numeratore e Denominatore.
Il denominatore è composto dalla funzione senX^2 che per $ xrarr +oo $ non ha limite, mentre $ x^3 $ dà come risultato infinito. Quindi al denominatore il limite ha come risultato infinito.
Per il numeratore studio prima l'argomento, quindi $ 5-cos x $ , dove la funzione coseno come il seno non ha limite. A questo punto $ log (5-cos x) $ per $ xrarr +oo $ come devo scrivere che si comporta? Che anche esso non ha limite perchè dato il suo argomento oscilla in un intervallo?
Risposte
Eh si, il numeratore non ammette limite. Ma c'è quel denominatore che opera per fare tendere tutta la frazione a \(0\). Qual è il risultato?
Il risultato è ovviamente zero. Quindi va bene dire che tutto il numeratore, dato l'argomento del log, non ha limite?
"Delta Maximus":Si. Solo, a me non pare ovvio che il risultato sia zero, andrebbe dimostrato.
Il risultato è ovviamente zero. Quindi va bene dire che tutto il numeratore, dato l'argomento del log, non ha limite?
Non mi è bastato il ragionamento sopra, per dire che il risultato è zero?
Purtroppo no, non ti basta. Un esempio: la funzione \(x \sin x\) non ammette limite per \(x \to \infty\). Eppure se formiamo la frazione
\[\frac{x \sin x}{x}\]
otteniamo qualcosa che ancora non ammette limite per \(x \to \infty\).
Nel tuo caso devi poter dire che l'influenza del numeratore è trascurabile rispetto a quella del denominatore per \(x \to \infty\). Per esempio, potresti mostrare che il numeratore è limitato in un intorno di \(+\infty\).
\[\frac{x \sin x}{x}\]
otteniamo qualcosa che ancora non ammette limite per \(x \to \infty\).
Nel tuo caso devi poter dire che l'influenza del numeratore è trascurabile rispetto a quella del denominatore per \(x \to \infty\). Per esempio, potresti mostrare che il numeratore è limitato in un intorno di \(+\infty\).
Te l'ho chiesto perchè in pratica, il prof.re me l'ha corretto così un limite, il procedimento è suo.
Ma se dovessi dimostrare come mi hai scritto che il numeratore è limitato in un intorno di +inf , come procedo?
quando faccio il calcolo del numeratore, esce che oscilla tra log(4) e log(6).
Ma se dovessi dimostrare come mi hai scritto che il numeratore è limitato in un intorno di +inf , come procedo?
quando faccio il calcolo del numeratore, esce che oscilla tra log(4) e log(6).
Io userei delle semplici disequazioni e il teorema dei carabinieri: dal momento che valgono le limitazioni $-1\le \sin t\le 1,\ -1\le\cos t\le 1$ per ogni valore di $t$ abbiamo, a numeratore
$4\le 5-\cos x\le 6$ e quindi $0<\log 4\le\log(5-\cos x)\le\log 6$
mentre a denominatore
$x^3-1\le x^3+\sin x^2\le x^3+1$ da cui $\frac{1}{x^3+1}\le\frac{1}{x^3+\sin x^2}\le\frac{1}{x^3-1}$
ne segue che la tua funzione è soggetta alla limitazione
$\frac{\log 4}{x^3+1}\le\frac{\log(5-\cos x)}{x^3+\sin x^2}\le\frac{\log 6}{x^3-1}$
e pertanto, per il Teorema dei Carabinieri, essa ha come limite zero per $x\to+\infty$ in quanto entrambe le funzioni che la limitano hanno tale limite.
$4\le 5-\cos x\le 6$ e quindi $0<\log 4\le\log(5-\cos x)\le\log 6$
mentre a denominatore
$x^3-1\le x^3+\sin x^2\le x^3+1$ da cui $\frac{1}{x^3+1}\le\frac{1}{x^3+\sin x^2}\le\frac{1}{x^3-1}$
ne segue che la tua funzione è soggetta alla limitazione
$\frac{\log 4}{x^3+1}\le\frac{\log(5-\cos x)}{x^3+\sin x^2}\le\frac{\log 6}{x^3-1}$
e pertanto, per il Teorema dei Carabinieri, essa ha come limite zero per $x\to+\infty$ in quanto entrambe le funzioni che la limitano hanno tale limite.
"Delta Maximus":
il numeratore oscilla tra log(4) e log(6).
Giusto. Quindi il numeratore è limitato. Ricordati bene cosa significa "funzione limitata", non devi avere dubbi su questi concetti di base. E poi ricordati anche il teoremino che dice: il prodotto di una cosa limitata per una cosa infinitesima è infinitesimo (dove "cosa" sta per "funzione" o "successione" o qualsiasi altro aggeggio possa tendere ad un limite). Lo applichi e hai finito.
P.S.: Altrimenti, naturalmente, puoi fare pure come dice ciampax col teorema della convergenza obbligata o dei due carabinieri, come lo vuoi chiamare. Se ci rifletti un pochino su, i due metodi sono proprio equivalenti.
"Delta Maximus":
Te l'ho chiesto perchè in pratica, il prof.re me l'ha corretto così un limite, il procedimento è suo.
Ma se dovessi dimostrare come mi hai scritto che il numeratore è limitato in un intorno di +inf , come procedo?
quando faccio il calcolo del numeratore, esce che oscilla tra log(4) e log(6).
Lo dimostri maggiorando o "minorando" seno e coseno, a seconda di come ti fa comodo.
Siccome vuoi dimostrarci che il tuo limite va a zero, hai interesse a diminuire il denominatore e ingrossare il numeratore.
Se la funzione cosi' aumentata va lo stesso a zero, a maggior ragione ci va nella sua formula originale.
Ad es.:
$1/(x^3+sen x^2) < 1/(x^3 - "un milione")$
$log (5-cos x) < log ("un milione")$
$lim_{x to +oo} log ("un milione")/(x^3 - "un milione") = 0 $
Chiaramente il mio è un discorso un po' "maccheronico", però penso che renda l'idea di come sbarazzarsi di questa burocrazia di dimostrare che seno e coseno non contano nulla in questo caso. Almeno io farei così.
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