Correlazione tra serie e trasformata di Fourier

[FireXl]

Salve Forum!
Avrei un quesito da porvi. Siccome sto studiando da poco l'analisi di Fourier e da ancor da meno la trasformata di LaPlace, forse mi rendo conto di non riuscire a vedere le cose con la chiarezza con cui le dovrei vedere...Per cui mi chiedevo se magari qualcuno di voi può dirmi se esiste una parentela tra le serie di Fourier e la trasformata di Fourier...A mio avviso hanno qualcosa in comune, però non so ancora bene cosa. Siccome l'esame è prossimo vorrei avere le idee chiare il prima possibile, quindi spero in un vostro aiuto.
Grazie in anticipo.
Ciao!

[ViciousGoblin]

"FireXl":Salve Forum!
Avrei un quesito da porvi. Siccome sto studiando da poco l'analisi di Fourier e da ancor da meno la trasformata di LaPlace, forse mi rendo conto di non riuscire a vedere le cose con la chiarezza con cui le dovrei vedere...Per cui mi chiedevo se magari qualcuno di voi può dirmi se esiste una parentela tra le serie di Fourier e la trasformata di Fourier...A mio avviso hanno qualcosa in comune, però non so ancora bene cosa. Siccome l'esame è prossimo vorrei avere le idee chiare il prima possibile, quindi spero in un vostro aiuto.
Grazie in anticipo.
Ciao!

Per stabilire un collegamento tra trasformata di Fourier e serie di Fourier ci vuole la teoria delle distribuzioni.
Data una funzione $T$-periodica essa ammette trasformata come distribuzione (in effetti una funzione periodica non puo'
essere trasformabile mediante la formula integrale) e la sua trasformata di Fourier e' data da

$\sum_{k\in\ZZ}c_k\delta_{k\omega_0}$

dove $\delta_{k\omega_0}$ e' la delta di Dirac ("funzioni impulsive") concentrata nel $k$-esimo multiplo di $\omega_02\pi/T$ e i $c_k$ sono i coefficienti della serie di Fourier (forse moltiplicati per $2\pi$ - dipende dalla definizione di trasformata)

In sostanza una funzione $T$-periodica ha spettro di frequenza concentrato nei multipli di $\omega_0=2\pi/T$.

Pero' non credo che questo ti serva per l'esame

[FireXl]

Hmmm chissà...Mi sembra alquanto artificioso come collegamento...vabbe cmq grazie per l'interessamento!
Ciao!

[elgiovo]

Ciao FireXl cosa sei, un ingegnere? Quello che diceva VGE non è artificioso, solo che se sei ing magari non hai ancora studiato le distribuzioni. Sostanzialmente intendeva dire che se una funzione (un segnale) $x_T(t)$ non nulla esclusivamente in un intervallo $[-T/2,T/2]$ ha trasformata $X_T(omega)$ allora la trasformata del segnale periodico $x(t)$ ottenuto per replicazione di $x_T(t)$ è

$ X(omega)=(2pi)/(T) sum_(n in ZZ) X_T(n omega_0) delta(omega - n omega_0) $,

e dunque

$x(t)=ccF^(-1)[X(omega)]=1/T sum_(n in ZZ) X_T(n omega_0) e^(i n omega_0 t)$

dove $omega_0=(2 pi)/T$ e $delta(cdot)$ è la delta di Dirac (che è una distribuzione). In parole povere lo spettro del segnale periodico si ottiene campionando lo spettro di quello non periodico nei multipli di $omega_0$. Puoi vedere le serie di Fourier come un caso particolare della trasformata, infatti i coefficienti dello sviluppo in serie (in forma complessa) sono proprio $(X_T(n omega_0))/(T)$

[FireXl]

Ciao Elgiovo,
Si, sono uno studente di ingegneria elettronica (se ti riferivi a quello), e in matematica non studierò questo argomento, tuttavia avevo sentito parlare di qualcosa del genere al corso di "analisi di segnali e trasmissioni", solo che con tante materie da studiare qualcosa mi era scappato, e grazie a voi adesso l'ho ripreso . Tra l'altro campionamenti e replicazioni sono stati gli ultimissimi argomenti del corso che è finito l'altro ieri, quindi spero in una comprensione
Grazie e Ciao!