Corollario t. convergenza dominata [dim. Rudin]

[finam]

Ciao a tutti. Scrivo perchè non riesco a raccapezzarmi con le due parti evidenziate in rosso.



TEO. 1.38. Da quello che ho capito $S$ è l'insieme su cui è definita la serie ed $E$ l'insieme su cui la serie converge assolutamente. Mi è chiaro che $S^c$ ha misura zero, ma non capisco perchè posso dire lo stesso di $E^c$, dato che è un sottoinsieme di $S$.

TEO. 1.39. Forse sono stato frettoloso ma non mi risulta, nelle pagine precedenti, che il testo dia una relazione esplicita tra misura dell'insieme e dell'integrale. Da dove salta fuori questa disuguaglianza?

Grazie a chi mi vorrà aiutare.

[Sk_Anonymous]

Per quanto riguarda la domanda 1, prova a ragionare per assurdo: se per caso fosse \(\mu (E^{c}) = \epsilon >0\) allora, essendo \(\varphi (x) \ge 0\) per ogni \(x \in X\), si avrebbe \[\int_S \varphi \, d \mu = \int_E \varphi \, d \mu + \int_{E^{c}} \varphi \, d \mu = \int_E \varphi \, d \mu + \epsilon \cdot \infty = \infty.\]

2 è facile: \(A_n\) è l'insieme dei punti \(x\) di \(E\) ove \(f(x) > 1/n\). A questo punto applichi semplicemente la proprietà di monotonia dell'integrale di Lebesgue: \[\frac{1}{n} \mu(A_n) = \int_{A_n} \frac{1}{n} \, d \mu \le \int_{A_n} f \, d \mu. \]

[finam]

Grazie Delirium, gentilissimo.