Corollario del teorema di Hahn-Banach
ciao a tutti, nel seguito $X$ è uno spazio normato e $V subset X$ è un suo sottospazio. devo dimostrare il seguente fatto
$bar{V}=X Leftrightarrow$ non esiste $f in X'$ diverso dal funzionale nullo tale che $f(v)=0 forall v in V$
ho provato che
$x_0 in X setminus barV Rightarrow exists f in X': f(v)=0 forall v in V, f(x_0)=1$ (*)
dunque la ($Leftarrow$) è dimostrata perchè è la contronominale di (*)
ho dei problemi con l'altra implicazione ($Rightarrow$). Ecco cosa pensavo di fare
Vale $bar{V}=X$, prendo $f in X': f(v)=0 forall v in V$, devo provare che $forall w in partial V f(w)=0$
sia $w in partial V$, per definizione
$forall r>0$ valgono $B(w,r) nn V ne emptyset$ e $B(w,r) nn (X setminus V) ne emptyset$
qui pensavo di impostare qualche disuguaglianza per mostrare che $f(w)=0$
è una buona strada? una spintarella?
$bar{V}=X Leftrightarrow$ non esiste $f in X'$ diverso dal funzionale nullo tale che $f(v)=0 forall v in V$
ho provato che
$x_0 in X setminus barV Rightarrow exists f in X': f(v)=0 forall v in V, f(x_0)=1$ (*)
dunque la ($Leftarrow$) è dimostrata perchè è la contronominale di (*)
ho dei problemi con l'altra implicazione ($Rightarrow$). Ecco cosa pensavo di fare
Vale $bar{V}=X$, prendo $f in X': f(v)=0 forall v in V$, devo provare che $forall w in partial V f(w)=0$
sia $w in partial V$, per definizione
$forall r>0$ valgono $B(w,r) nn V ne emptyset$ e $B(w,r) nn (X setminus V) ne emptyset$
qui pensavo di impostare qualche disuguaglianza per mostrare che $f(w)=0$
è una buona strada? una spintarella?
Risposte
Non ho ben capito dove ti sei impiantato; ad ogni modo, se il problema è la freccia $\Rightarrow$, ti ricordo che una funzione continua (a valori in uno spazio di Hausdorff) è univocamente determinata dai suoi valori su un denso... 
Il problema è proprio quello. Praticamente se conosco come vengono mappati i punti di $V$ (che nel mio caso è denso) allora conosco come vengono mappati tutti i punti della sua chiusura (ovvero di tutto lo spazio)?
[EDIT] ho rispolverato la mia topologia generale ed ho trovato cosa intendevi: se $f$ e $g$ sono due funzioni continue da $X$ in $bbbK$ [nota]$bbbK$ è come al solito il campo reale o complesso[/nota] che coincidono sul sottoinsieme denso $V subset X$, allora $f$ e $g$ coincidono ovunque.
sia $w in X setminus V$, siano $M$ e $N$ intorni aperti (palle) di $f(w)$ e $g(w)$ rispettivamente; per la continuità delle mappe $f^{-1}(M)$ e $g^{-1}(N)$ sono intorni aperti di $w$, e quindi anche $f^{-1}(M) nn g^{-1}(N)$, pertanto $[f^{-1}(M) nn g^{-1}(N)] nn V ne emptyset$ ($V$ è denso in $X$ per cui $V$ interseca ogni aperto non vuoto di $X$). Quindi $forall u in [f^{-1}(M) nn g^{-1}(N)] nn V$ si ha $f(u)=g(u)$ (perchè $u in V$) e inoltre $f(u) in M$ (perchè $u in f^{-1}(M)$) e $g(u) in N$ (perchè $u in g^{-1}(N)$), quindi $f(u)=g(u) in M nn N ne emptyset$ per cui $f(w)=g(w)$ (perchè $bbbK$ è spazio di Hausdorff)
is that the point?
grazie Paolo
[EDIT] ho rispolverato la mia topologia generale ed ho trovato cosa intendevi: se $f$ e $g$ sono due funzioni continue da $X$ in $bbbK$ [nota]$bbbK$ è come al solito il campo reale o complesso[/nota] che coincidono sul sottoinsieme denso $V subset X$, allora $f$ e $g$ coincidono ovunque.
sia $w in X setminus V$, siano $M$ e $N$ intorni aperti (palle) di $f(w)$ e $g(w)$ rispettivamente; per la continuità delle mappe $f^{-1}(M)$ e $g^{-1}(N)$ sono intorni aperti di $w$, e quindi anche $f^{-1}(M) nn g^{-1}(N)$, pertanto $[f^{-1}(M) nn g^{-1}(N)] nn V ne emptyset$ ($V$ è denso in $X$ per cui $V$ interseca ogni aperto non vuoto di $X$). Quindi $forall u in [f^{-1}(M) nn g^{-1}(N)] nn V$ si ha $f(u)=g(u)$ (perchè $u in V$) e inoltre $f(u) in M$ (perchè $u in f^{-1}(M)$) e $g(u) in N$ (perchè $u in g^{-1}(N)$), quindi $f(u)=g(u) in M nn N ne emptyset$ per cui $f(w)=g(w)$ (perchè $bbbK$ è spazio di Hausdorff)
is that the point?
grazie Paolo
E' precisamente quello che intendevo. Nota che, come ti dicevo sopra, non serve che le funzioni siano a valori reali o complessi, basta che assumano valori in uno spazio di Hausdorff.
Prego, figurati, e' stato un piacere
Prego, figurati, e' stato un piacere
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