Corollario analisi complessa

[s904s]

Sia z0 appartenente a C una singolarità isolata della funzione f e indichiamo il relativo sviluppo in serie di laurent come in (3.3). Allora le seguenti affermazioni sono equivalenti :
1) z0 è un polo di ordine p per f
2) a_k=0 per ogni k<-p, ma a_(-p) è diverso da 0,
3) possiamo fattorizzare la funzione f come

[tex]f(z) = \frac{\phi(z)}{(z-z_0)^p}[/tex]
dove [tex]\phi(z) =a_{-p}+ a_{-p+1} (z-z_0)+ ....,[/tex] è una funzione olomorfa con phi di z_0 diverso da 0
Come fa a dimostrare la terza cosa?

[s904s]

nessuno può aiutarmi ?

[gugo82]

Beh, scusa, se assumi la 2), i.e. che valga lo sviluppo di Laurent:
\[
f(z) = \sum_{k=-p}^\infty a_k\ (z-z_0)^k\; ,
\]
chiama \(\phi\) la funzione definita ponendo:
\[
\phi(z) := (z-z_0)^p\ f(z)\; ;
\]
tale funzione è olomorfa intorno a \(z_0\), in quanto si può sviluppare in serie di potenze sfruttando l'espansione in serie di Laurent di \(f\):
\[
\phi (z) = \sum_{k=-p}^\infty a_k\ (z-z_0)^{k+p} \stackrel{n=k+p}{=} \sum_{n=0}^\infty a_{n-p}\ (z-z_0)^n
\]
e ciò importa che \(\phi\) è derivabile pure in \(z_0\); dato che, per definizione, è:
\[
f(z) = \frac{\phi (z)}{(z-z_0)^p}
\]
la 3) è bella che provata.