Corollario alla formula di taylor

[rag.luca1]

Salve a tutti, il mio prof di analisi 1 ha dettato il seguente spacciandolo come "corollario alla formula di taylor" ma in internet non ho trovato niente che corrispondesse con quanto sopra. il corollario in questione recita: " se f è derivabile fino all'ordine n e se $ f^(k)(x)=0 $ per k =1,2,3, n-1 e $ f^n(x)!= 0 $ allora valgono le seguenti:
1) se n è dispari, x non è un punto di massimo o minimo rel
2) se n è pari e $ f^n(x)> 0 $ allora x è un punto di min rel
3) se n è pari e $ f^n(x)<0 $ allora x è un punto di max rel."
il mio problema non sta tanto nella comprensione del corollario in sè quanto più della sua dimostrazione. qualcuno è in grado di darmi una mano? grazie mille in anticipo.

[francescop21]

Sviluppa la funzione con Taylor nell'intorno del punto \(\displaystyle x_0 \):

\(\displaystyle f(x) = \sum_{k=0}^n \frac{1}{k!} f^{(k)}(x_0) (x-x_0)^k + o((x-x_0)^n)\)

A questo punto ti ricordi che \(\displaystyle f^{(k)} (x_0) = 0 \quad \forall k=1\dots n-1 \) e ottieni:

\(\displaystyle f(x) = f(x_0) + f^{(n)}(x_0) (x-x_0)^n + o((x-x_0)^n)\)

Adesso fai le considerazioni sulla parità di \( n\) e sul segno di \(\displaystyle f^{(n)}(x_0) \) e arrivi alle conclusioni che hai scritto

[dissonance]

Sono d'accordo con Francesco; qui c'è un vecchio intervento mio con qualche disegnino per illustrare la questione.

PS: Non capisco perché ti infastidisca il fatto che il professore si riferisca a questo risultato come a un "corollario della formula di taylor".