Corollario al teorema di Weierstrass o Dei massimi e minimi

[laska1]

Buongiorno a voi!

Vi scrivo perché ho difficoltà nel capire "praticamente" cosa mi vuole dire il seguente corollario al teorema di Weierstrass:

Sia $f:[a,b]->RR$ continua e si abbia:

${(m=min f),(M= max f):} rArr f[a,b]=[m,M]$

$text{Dimostrazione}$

$(m,M)=(text{inf}f,text{sup}f)subf[a,b]sub[text{inf}f,text{sup}f]=[m,M]$

segue che: $(m,M)subf[a,b]sub[m,M]$ e da qui scrivo che: ${(m=f(x_1)),(M=f(x_2)):} text{che appartengono entrambi ad} f[a,b]->f[a,b]=[m,M]$

Bene...Quello che vi chiedo cortesemente è un'immagine, un grafico di funzione che mi spieghi questo corollario... Perché la mia difficoltà non è tanto teorica, quanto di giusta profondità matematica (ché è peggio )

[gugo82]

Pensa a \(f:[0,2\pi]\ni x \mapsto \sin x\in \mathbb{R}\)...

[theras]

Ciao!
Questo corollario al Teorema di Weierstrass è noto pure come "Teorema dei valori intermedi" e,d'altronde,
è in fondo intuitivo capire che,
se m ed M sono rispettivamente il minimo e massimo valore dell'ordinata per i punti di $G_f$ ed $x_m,x_M$ sono due ascisse per cui tali valori vengono assunti dalla f
(l'esistenza d'almeno due tra sifatti valori di x$in[a,b]$,nell'ipotesi di continuità di f,è assicurata proprio dal buon W...),
il grafico stesso della f dovrà congiungere nel suo "percorso" $(x_m,m)$ e $(x_M,M)$,
senza "mai staccare la penna dal foglio" proprio per l'ipotizzata continuità in [a,b] della f:
dunque l'ordinata dei punti di $G_f$ dovrà assumere tutti i valori tra m ed M(ovviamente estremi inclusi..)
perchè altrimenti ci sarebbe un'interruzione di continuità di quel tratto di penna!
Spero d'esserti stato utile:
saluti dal web.

[laska1]

Ho integrato ( si fa per dire ) le indicazioni di tutti e due e la cosa mi è più chiara
Grazie mille, come sempre!