Coordinate sferiche e cilindriche
calcolare $ int_F e^zdxdydz $ dove $ F={(x,y,z)∈RR^3:z^2<=x^2+y^2<=1-z^2,-(√3)y<=x<=y} $ .
l'esercizio suggerisce di scrivere l'insieme in coordinate sferiche $ (theta,phi,rho) $ ottenendo $ F=[1/4pi,5/6pi]xx [1/4pi,3/4pi]xx[0,1] $
calcolare $ int_(F)(x^2+y^2)/z^2dxdydz $ dove $ F={(x,y,z)∈RR^3:2z<=x^4+2x^2y^2+y^4<=5z,3z<=x^2+y^2<=4z} $ . qui l'esercizio suggerisce di scrive l'insieme in coordinate cilindriche ottenendo $ F={(r,theta,z):theta∈[0,2pi],2z<=r^4<=5z,3z<=r^2<=4z} $
vi prego potreste aiutarmi a capire come è possibile riscrivere gli insiemi in questo modo?
l'esercizio suggerisce di scrivere l'insieme in coordinate sferiche $ (theta,phi,rho) $ ottenendo $ F=[1/4pi,5/6pi]xx [1/4pi,3/4pi]xx[0,1] $
calcolare $ int_(F)(x^2+y^2)/z^2dxdydz $ dove $ F={(x,y,z)∈RR^3:2z<=x^4+2x^2y^2+y^4<=5z,3z<=x^2+y^2<=4z} $ . qui l'esercizio suggerisce di scrive l'insieme in coordinate cilindriche ottenendo $ F={(r,theta,z):theta∈[0,2pi],2z<=r^4<=5z,3z<=r^2<=4z} $
vi prego potreste aiutarmi a capire come è possibile riscrivere gli insiemi in questo modo?

Risposte
Ciao itisscience,
Partiamo col primo...
Innanzitutto occorre ricordare che le coordinate sferiche sono le seguenti:
${(x = \rho cos\theta sin \phi),(y = \rho sin\theta sin\phi),(z = \rho cos\phi):} $
Poi si ha $F={(x,y,z) \in \RR^3 : z^2 <= x^2 + y^2 <= 1-z^2,- sqrt3 y <= x <= y}$, quindi se portiamo a sinistra $z^2 $ nella prima catena di disuguaglianze otteniamo $ x^2 + y^2 + z^2 <= 1 \iff \rho^2 <= 1 $ e quindi in effetti $\rho \in [0, 1] $; d'altronde sempre dalla $ z^2 <= x^2 + y^2 <= 1-z^2 $ aggiungendo $z^2 $ a tutti i membri si ha:
$ 2z^2 <= x^2 + y^2 + z^2 <= 1 \implies 2z^2/\rho^2 <= 1 \implies 2 cos^2\phi <= 1 \implies \phi \in [\pi/4, (3\pi)/4] $
Dalla $ - sqrt3 y <= x <= y $ dividendo tutto per $y $ (supposto positivo) si ha:
$ - sqrt3 <= x/y <= 1 \iff - sqrt3 <= cot\theta <= 1 \implies \theta \in [\pi/4, (5\pi)/6] $
Il secondo è banale se si ricorda che le coordinate cilindriche sono le seguenti:
${(x = \rho cos\theta),(y = \rho sin\theta),(z = z):} $
Quindi da $ F = {(x,y,z) \in \RR^3 : 2z <= x^4+2x^2y^2+y^4 <= 5z, 3z <= x^2+y^2 <= 4z} $, che si può scrivere $ F = {(x,y,z) \in \RR^3 : 2z <= (x^2 + y^2)^2 <= 5z, 3z <= x^2+y^2 <= 4z} $, osservando che $x^2 + y^2 = \rho^2 $ si ha proprio $ F = {(\rho, \theta, z) \in \RR^3 : 2z <= \rho^4 <= 5z, 3z <= \rho^2 <= 4z, \theta \in [0,2\pi]} $
Partiamo col primo...

Innanzitutto occorre ricordare che le coordinate sferiche sono le seguenti:
${(x = \rho cos\theta sin \phi),(y = \rho sin\theta sin\phi),(z = \rho cos\phi):} $
Poi si ha $F={(x,y,z) \in \RR^3 : z^2 <= x^2 + y^2 <= 1-z^2,- sqrt3 y <= x <= y}$, quindi se portiamo a sinistra $z^2 $ nella prima catena di disuguaglianze otteniamo $ x^2 + y^2 + z^2 <= 1 \iff \rho^2 <= 1 $ e quindi in effetti $\rho \in [0, 1] $; d'altronde sempre dalla $ z^2 <= x^2 + y^2 <= 1-z^2 $ aggiungendo $z^2 $ a tutti i membri si ha:
$ 2z^2 <= x^2 + y^2 + z^2 <= 1 \implies 2z^2/\rho^2 <= 1 \implies 2 cos^2\phi <= 1 \implies \phi \in [\pi/4, (3\pi)/4] $
Dalla $ - sqrt3 y <= x <= y $ dividendo tutto per $y $ (supposto positivo) si ha:
$ - sqrt3 <= x/y <= 1 \iff - sqrt3 <= cot\theta <= 1 \implies \theta \in [\pi/4, (5\pi)/6] $
Il secondo è banale se si ricorda che le coordinate cilindriche sono le seguenti:
${(x = \rho cos\theta),(y = \rho sin\theta),(z = z):} $
Quindi da $ F = {(x,y,z) \in \RR^3 : 2z <= x^4+2x^2y^2+y^4 <= 5z, 3z <= x^2+y^2 <= 4z} $, che si può scrivere $ F = {(x,y,z) \in \RR^3 : 2z <= (x^2 + y^2)^2 <= 5z, 3z <= x^2+y^2 <= 4z} $, osservando che $x^2 + y^2 = \rho^2 $ si ha proprio $ F = {(\rho, \theta, z) \in \RR^3 : 2z <= \rho^4 <= 5z, 3z <= \rho^2 <= 4z, \theta \in [0,2\pi]} $
ti ringrazio!