Coordinate polari per un insieme di integrazione

[Aletzunny1]

ciao ragazzi, forse ho qualche lacuna sulle disequazioni goniometriche...tuttavia non riesco a trovare il mio errore in questo insieme

$E={0<=x;x^2+y^2<=2:y<=0;(x^2+y^2)^2<=4(x^2-y^2)}$ che reso in coordinate polari diventa

$E'={rho*cos(theta)>=0;0<=rho<=sqrt(2);rho*sin(theta)<=0;0<=rho<=2sqrt(cos(2theta))}$

da $rho*cos(theta)>=0;rho*sin(theta)<=0$ trovo che $ -pi/2<=theta<=0$

da $0<=rho<=2sqrt(cos(2theta))$ impongo che $cos(2theta)>=0$ e dunque $-pi/4<=theta<=pi/4$

da $0<=rho<=sqrt(2);0<=rho<=2sqrt(cos(2theta))$ provo a vedere quando $2sqrt(cos(2theta))<=sqrt(2)$ e trovo che $pi/6<=theta<=5/6pi$

facendo il sistema (su una circonferenza goniometrica) trovo $pi/6<=theta<=pi/4$

mentre trovo che $2sqrt(cos(2theta))>=sqrt(2)$ per $-pi/6<=theta<=pi/6$ e dunque risolvendo anche questo sistema trovo che $-pi/6<=theta<=0$

e dunque troverei questi due insiemi: ${0<=rho<=sqrt(2);-pi/6<=theta<=0}$ e ${0<=rho<=2sqrt(cos(2theta));pi/6<=theta<=pi/4}$

mentre le soluzioni sono ${0<=rho<=sqrt(2);3/2pi<=theta<=11pi/6}$ e ${0<=rho<=2sqrt(cos(2theta));-11pi/6<=theta<=2pi}$

qualcuno mi può aiutare? sto impazzendo a cercare di capire dove sbaglio ma vuoto totale! grazie

[l'abatefarina]

il bello è che non mi trovo nè con te nè col libro, magari sbaglierò anche io e aspetteremo la quarta soluzione
i primi tre vincoli ci dicono $rho<=sqrt2; -pi/2<=theta<=0$
dovendosi avere $rho<=2sqrt(cos2theta)$ deve prima di tutto essere $cos2theta>=0$ e quindi $-pi/4<=theta<=0$
la disequazione $2sqrt(cos2theta)>=sqrt2$ ha soluzione $0>=theta>=-pi/6$
a questo punto ti lascio concludere l'esercizio

[Bokonon]

Il modo più semplice per non incasinarsi IMHO è di visualizzare in coordinate cartesiane cosa si sta facendo prima di vedere il medesimo problema in coordinate polari.
Due condizioni ci dicono che stiamo nel quarto quadrante.
Rimuoviamo i segni delle disequazioni e vediamo una circonferenza centrata nell'origine di raggio $sqrt(2)$ e una curva che passa per l'origine (x=0, y=0 è una soluzione di essa).
Troviamo quindi il punto di intersezione fra la circonferenza e la seconda curva.
Sappiamo che $x^2+y^2=2$ e che $(x^2+y^2)^2=4(x^2-y^2)=4(x^2+y^2-2y^2)=4(x^2+y^2)-8y^2$
Sostituendo abbiamo $4=8-8y^2 rArr y^2=1/2$ per cui prendiamo la soluzione negativa $y=-1/sqrt(2)$
Non ci importa d'altro perchè stiamo solo cercando l'angolo in coordinate polari.
Dato che il punto appartiene alla circonferenza abbiamo $sqrt(2)sin(theta)=-1/sqrt(2) rArr sin(theta)=-1/2$
Questo ci dice che $theta=-pi/6=(11pi)/6$
Il resto è immediato perchè passando alle coordinate polari abbiamo:
$0<=rho<=2sqrt(cos(2theta))$ per la curva che passa per l'origine.
$0<=rho<=sqrt(2)$ per la circonferenza.
Quindi la soluzione corretta è:
${0<=rho<=2sqrt(cos(2theta));3/2pi<=theta<=(11pi)/6}$ e ${0<=rho<=sqrt(2);(11pi)/6<=theta<=2pi}$

Graficamente abbiamo che l'insieme è contenuto in OAB https://www.desmos.com/calculator/ftwcxhukeo
Il raggio punta a sud ($3/2pi$) quando vale zero e cresce in ragione di $2sqrt(cos(2theta))$ finchè non arriva a A ($theta=-pi/6=(11pi)/6$). Poi il raggio diventa costante perchè il resto della regione da spazzare è una circonferenza.

Edit: inserito foglio desmos più carino

[Aletzunny1]

Grazie