Coordinate polari (integrale doppio)
$\int_Hxdxdy$ con $H={x,y>=0, x^2+y^2<=4, x^2+y^2-2y>=0)}$
Il dominio di integrazione è costituito dalla parte di piano compresa tra una semicirconferenza (quella per $x>0$ di $x^2+y^2-2y>=0$) e il quarto di circonferenza del primo quadrante di$x^2+y^2<=4$; si possono utilizzare le coordinate polari?
Sembrerebbe di sì, in quanto il libro trasforma $H$ in $H'={0<=\theta<=\pi/2 , 2sin\theta<=r<=2$}, giustificando la trasformazione dicendo che la circonferenza $x^2+y^2-2y>=0$ si descrive come $r-2sin\theta$ . Ecco, io non "giustifico" la scelta!
Perché si descrive in quel modo la circonferenza?
Che procedimento ha adottato?
Il dominio di integrazione è costituito dalla parte di piano compresa tra una semicirconferenza (quella per $x>0$ di $x^2+y^2-2y>=0$) e il quarto di circonferenza del primo quadrante di$x^2+y^2<=4$; si possono utilizzare le coordinate polari?
Sembrerebbe di sì, in quanto il libro trasforma $H$ in $H'={0<=\theta<=\pi/2 , 2sin\theta<=r<=2$}, giustificando la trasformazione dicendo che la circonferenza $x^2+y^2-2y>=0$ si descrive come $r-2sin\theta$ . Ecco, io non "giustifico" la scelta!
Perché si descrive in quel modo la circonferenza?
Che procedimento ha adottato?
Risposte
Basta sostituire
[tex]x=r\cos\theta[/tex]
[tex]y=r\sin\theta[/tex]
e tenendo conto che [tex]r[/tex] è sempre positivo......
[tex]x=r\cos\theta[/tex]
[tex]y=r\sin\theta[/tex]
e tenendo conto che [tex]r[/tex] è sempre positivo......
Sì, ok, credo di aver capito questo caso-base.
Invece, prendiamo il seguente esercizio:
$\int_Hxydxdy$ , dove $H={x^2+y^2<1,x^2+y^2<2x,y>=0}$ .
Mi appara chiaro grazie al tuo aiuto perché $(x,y) in H<=> {0
$H_1={0
Non capisco come mai quella porzione di cerchio sia parametrizzata da $H_2$.
Poiché ho capito come viene parametrizzato $H_1$ , noto che $H_2$ comprende quello che ,incluso in $H$, non è stato "copiato" in $H_1$ ;
matematicamente però, non riesco a capire perché quella porzione di cerchio abbia quella forma algebrica.
Invece, prendiamo il seguente esercizio:
$\int_Hxydxdy$ , dove $H={x^2+y^2<1,x^2+y^2<2x,y>=0}$ .
Mi appara chiaro grazie al tuo aiuto perché $(x,y) in H<=> {0
$H_1={0
Non capisco come mai quella porzione di cerchio sia parametrizzata da $H_2$.
Poiché ho capito come viene parametrizzato $H_1$ , noto che $H_2$ comprende quello che ,incluso in $H$, non è stato "copiato" in $H_1$ ;
matematicamente però, non riesco a capire perché quella porzione di cerchio abbia quella forma algebrica.
La cosa più semplice da fare per determinare il dominio in coordinate polari è disegnarlo, ricordando che
[tex]x^2+y^2<2x\Rightarrow x^2-2x+1+y^2<1\Rightarrow(x-1)^2+y^2<1[/tex]
rappresenta una circonferenza di raggio unitario con centro nel punto [tex](1,0)[/tex]. Così facendo vedrai che il punto di intersezione tra le due circonferenze si ha per [tex]x=1/2[/tex] ovvero per [tex]\cos\theta=1/2\Rightarrow\theta=\frac{\pi}{3}[/tex]
[tex]x^2+y^2<2x\Rightarrow x^2-2x+1+y^2<1\Rightarrow(x-1)^2+y^2<1[/tex]
rappresenta una circonferenza di raggio unitario con centro nel punto [tex](1,0)[/tex]. Così facendo vedrai che il punto di intersezione tra le due circonferenze si ha per [tex]x=1/2[/tex] ovvero per [tex]\cos\theta=1/2\Rightarrow\theta=\frac{\pi}{3}[/tex]
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