Coordinate polari Integrale doppio
Ciao a tutti, ho da poco iniziato a studiare gli integrali doppi, in particolare ho questo integrale da risolvere mediante cambio in coordinate polari:
$\int int x dxdy$ definito nel dominio $D$ : $\{(x^2+(y-1)^2<=1),(y+x>=2):}$
Il dominio l'ho ricavato facilmente essendo un intersezione tra un circoferenza di centro (0;1) e una retta passante da (0;2) e (2;0)
Per effettuare il cambio ho definito:
$x=p*cos(\theta)$
$ y=p*sin(\theta) + 1$
Valutando il dominio in coordinate polari risulta:
$1/(sin\theta+cos\theta) < p < 1$
Fin qui credo sia giusto...
Il primo problema sorge nel determinare i valori in cui è compreso $\theta$, guardando il grafico mi verrebbe da pensare che sia compreso tra $0$ e $pi/2$
Il secondo problema è nella risoluzione dell'integrale stesso:
$\int_{0}^{pi/2} \int_{1/(sin\theta+ cos\theta)}^{1} cos\theta*p^2 dp d\theta$
Effettuando alcuni passaggi mi esce l'integrale
$1/3$$\int_{0}^{pi/2} (cos\theta)/(cos^3+sin^3) d\theta$
che non riesco a svolgere. In più credo che mi stia intrufolando in calcolo inutili quando il procedimento potrebbe essere molto più veloce...
Volevo sapere se sto sbagliando qualcosa, o se ho utilizzato una sostituzione non convenevole.
$\int int x dxdy$ definito nel dominio $D$ : $\{(x^2+(y-1)^2<=1),(y+x>=2):}$
Il dominio l'ho ricavato facilmente essendo un intersezione tra un circoferenza di centro (0;1) e una retta passante da (0;2) e (2;0)
Per effettuare il cambio ho definito:
$x=p*cos(\theta)$
$ y=p*sin(\theta) + 1$
Valutando il dominio in coordinate polari risulta:
$1/(sin\theta+cos\theta) < p < 1$
Fin qui credo sia giusto...
Il primo problema sorge nel determinare i valori in cui è compreso $\theta$, guardando il grafico mi verrebbe da pensare che sia compreso tra $0$ e $pi/2$
Il secondo problema è nella risoluzione dell'integrale stesso:
$\int_{0}^{pi/2} \int_{1/(sin\theta+ cos\theta)}^{1} cos\theta*p^2 dp d\theta$
Effettuando alcuni passaggi mi esce l'integrale
$1/3$$\int_{0}^{pi/2} (cos\theta)/(cos^3+sin^3) d\theta$
che non riesco a svolgere. In più credo che mi stia intrufolando in calcolo inutili quando il procedimento potrebbe essere molto più veloce...
Volevo sapere se sto sbagliando qualcosa, o se ho utilizzato una sostituzione non convenevole.
Risposte
Ciao Batixono,
Non ho guardato la correttezza degli estremi di integrazione, ma l'ultimo integrale che hai scritto è certamente sbagliato. Mi risulta
$ 1/3 \cdot \int_{0}^{pi/2} (cos\theta)/(cos\theta + sin\theta)^3 \text{d}\theta = 1/3 \cdot 1/2 = 1/6 $
Non ho guardato la correttezza degli estremi di integrazione, ma l'ultimo integrale che hai scritto è certamente sbagliato. Mi risulta
$ 1/3 \cdot \int_{0}^{pi/2} (cos\theta)/(cos\theta + sin\theta)^3 \text{d}\theta = 1/3 \cdot 1/2 = 1/6 $
Si grazie mille, però ho trascritto male io nel messaggio. Mi potresti aiutar nel capire come hai ricavato la primitiva di $cos\theta / (cos\theta + sin\theta)^3$ ?
"Batixono":
Mi potresti aiutar nel capire come hai ricavato la primitiva di $ cos\theta / (cos\theta + sin\theta)^3 $ ?
Certamente, in realtà è molto più semplice di quanto tu possa pensare...
Riferiamoci all'integrale indefinito, poi passare a quello definito è banale. Dividendo numeratore e denominatore per $cos^3 \theta $ si ha:
$ \int (cos\theta)/(cos\theta + sin\theta)^3 \text{d}\theta = \int (1/cos^2\theta)/(1 + tan\theta)^3 \text{d}\theta = \int (1 + tan\theta)^{- 3} \cdot 1/(cos^2\theta) \text{d}\theta $
Quest'ultimo integrale è immediato, perché è del tipo seguente:
$\int [f(\theta)]^a f'(\theta) \text{d}\theta = [f(\theta)]^{a + 1}/(a+ 1) + c $
ove nel caso in esame $f(\theta) = 1 + tan\theta $ e $a = - 3 $, per cui si ha:
$\int (1 + tan\theta)^{- 3} \cdot 1/(cos^2\theta) \text{d}\theta = (1 + tan\theta)^{- 3 + 1}/(- 3 + 1) + c = - 1/(2(1 + tan\theta)^2) + c $
Dunque si ha:
$ \int_0^{\pi/2} (1 + tan\theta)^{- 3} \cdot 1/(cos^2\theta) \text{d}\theta = [- 1/(2(1 + tan\theta)^2)]_0^{\pi/2} = 1/2 $
Adesso è tutto chiaro, grazie mille!!
Scusa pilloeffe, un chiarimento sulla determinazione delle informazioni del nuovo dominio di integrazione.
Per quanto riguarda $p$ abbiamo estrapolato, solo tramite passaggi algebrici, l'intervallo in cui varia, come segue.
Dalla prima relazione si ricava che $0 <= p <= 1$.
Dalla seconda, invece, $p >= 1/(cos(\theta) + sin(\theta))$.
Mettendo insieme le due relazioni, ottengo finalmente che $1/(cos(\theta) + sin(\theta)) <= p <= 1$.
Per quanto riguarda $\theta$, l'intervallo $[0, \pi/2]$ è stato estrapolato in maniera qualitativa "guardando il grafico".
Mi chiedo, come dimostro questa cosa in maniera rigorosa, ossia tramite passaggi algebrici, come con $p$?
Per quanto riguarda $p$ abbiamo estrapolato, solo tramite passaggi algebrici, l'intervallo in cui varia, come segue.
Dalla prima relazione si ricava che $0 <= p <= 1$.
Dalla seconda, invece, $p >= 1/(cos(\theta) + sin(\theta))$.
Mettendo insieme le due relazioni, ottengo finalmente che $1/(cos(\theta) + sin(\theta)) <= p <= 1$.
Per quanto riguarda $\theta$, l'intervallo $[0, \pi/2]$ è stato estrapolato in maniera qualitativa "guardando il grafico".
Mi chiedo, come dimostro questa cosa in maniera rigorosa, ossia tramite passaggi algebrici, come con $p$?
Ciao CosenTheta,
Risolvendo la disequazione trigonometrica $cos(\theta) + sin(\theta) >= 1 $
"CosenTheta":
come dimostro questa cosa in maniera rigorosa, ossia tramite passaggi algebrici, come con $p$?
Risolvendo la disequazione trigonometrica $cos(\theta) + sin(\theta) >= 1 $
Hai ricavato questa disequazione osservando quanto segue?
$ 1/(cos(\theta) + sin(\theta)) <= p <= 1 => 1/(cos(\theta) + sin(\theta)) <= 1 =>cos(\theta) + sin(\theta) >=1 $
$ 1/(cos(\theta) + sin(\theta)) <= p <= 1 => 1/(cos(\theta) + sin(\theta)) <= 1 =>cos(\theta) + sin(\theta) >=1 $
Affermativo.
Si può anche risolvere rapidamente osservando che si ha:
$ sin(\theta) + cos(\theta) >=1 $
$ \sqrt{2}[sin(\theta)cos(\pi/4) + cos(\theta)sin(\pi/4)] >=1 $
$ \sqrt{2} sin(\theta + \pi/4) >=1 $
Si può anche risolvere rapidamente osservando che si ha:
$ sin(\theta) + cos(\theta) >=1 $
$ \sqrt{2}[sin(\theta)cos(\pi/4) + cos(\theta)sin(\pi/4)] >=1 $
$ \sqrt{2} sin(\theta + \pi/4) >=1 $
Grazie.
Non vorrei risultare pedante ( 
) ma, se non ho preso una svista, ci sono due altre cose da dire esplicitamente visto che stiamo cercando di risolvere tutto algebricamente:
1) la disequazione $\frac{1}{\cos \theta + \sin \theta} \leq 1$ a priori non è equivalente a $\cos \theta + \sin \theta \geq 1$, in quanto la prima ha come intervallo delle soluzioni, ristretto a $[0,2\pi)$, l'intervallo $\left[0, \frac{\pi}{2}\right] \cup \left[\frac{3}{4} \pi, \frac{7}{4} \pi \right]$, mentre la seconda ha come intervallo delle soluzioni, sempre ristretto a $[0,2\pi)$, l'intervallo $\left[0,\frac{\pi}{2}\right]$.
Infatti, basta prendere $\theta=\frac{5}{4}\pi$ per accorgersi che $\frac{1}{\cos \frac{5}{4}\pi + \sin \frac{5}{4}\pi} \leq 1$ è vera mentre $\cos \frac{5}{4}\pi + \sin \frac{5}{4}\pi \geq 1$ è falsa;
2) la non equivalenza è dovuta al fatto che qui
per passare ai reciproci invertendo il verso della disequazione bisogna assicurarsi che sia $\cos \theta + \sin \theta>0$, dovendo essere i due membri di segno concorde per poterlo fare; questo non immediatamente deducibile se si vuole bypassare il grafico e fare tutto algebricamente, a meno di (come sono sicuro che abbia fatto pilloeffe) aver già dimostrato prima che $\cos \theta + sin \theta >0$.
Quindi si deve dedurre prima di passare ai reciproci che $\cos \theta + \sin \theta>0$ per un certo intervallo $[theta_1,\theta_2]$ (altrimenti si dedurrebbe erroneamente che $\theta \in \left[0, \frac{\pi}{2}\right] \cup \left[\frac{3}{4} \pi, \frac{7}{4} \pi \right]$) poi si passa ai reciproci nella disequazione $\frac{1}{\cos \theta + \sin \theta} \leq 1 $ e infine si interseca l'intervallo delle soluzioni della disequazione equivalente $\cos \theta + \sin \theta \geq 1$ con l'intervallo $[\theta_1,\theta_2]$.
) ma, se non ho preso una svista, ci sono due altre cose da dire esplicitamente visto che stiamo cercando di risolvere tutto algebricamente:1) la disequazione $\frac{1}{\cos \theta + \sin \theta} \leq 1$ a priori non è equivalente a $\cos \theta + \sin \theta \geq 1$, in quanto la prima ha come intervallo delle soluzioni, ristretto a $[0,2\pi)$, l'intervallo $\left[0, \frac{\pi}{2}\right] \cup \left[\frac{3}{4} \pi, \frac{7}{4} \pi \right]$, mentre la seconda ha come intervallo delle soluzioni, sempre ristretto a $[0,2\pi)$, l'intervallo $\left[0,\frac{\pi}{2}\right]$.
Infatti, basta prendere $\theta=\frac{5}{4}\pi$ per accorgersi che $\frac{1}{\cos \frac{5}{4}\pi + \sin \frac{5}{4}\pi} \leq 1$ è vera mentre $\cos \frac{5}{4}\pi + \sin \frac{5}{4}\pi \geq 1$ è falsa;
2) la non equivalenza è dovuta al fatto che qui
"CosenTheta":
$1/(cos(\theta) + sin(\theta)) <= 1 =>cos(\theta) + sin(\theta) >=1 $
per passare ai reciproci invertendo il verso della disequazione bisogna assicurarsi che sia $\cos \theta + \sin \theta>0$, dovendo essere i due membri di segno concorde per poterlo fare; questo non immediatamente deducibile se si vuole bypassare il grafico e fare tutto algebricamente, a meno di (come sono sicuro che abbia fatto pilloeffe) aver già dimostrato prima che $\cos \theta + sin \theta >0$.
Quindi si deve dedurre prima di passare ai reciproci che $\cos \theta + \sin \theta>0$ per un certo intervallo $[theta_1,\theta_2]$ (altrimenti si dedurrebbe erroneamente che $\theta \in \left[0, \frac{\pi}{2}\right] \cup \left[\frac{3}{4} \pi, \frac{7}{4} \pi \right]$) poi si passa ai reciproci nella disequazione $\frac{1}{\cos \theta + \sin \theta} \leq 1 $ e infine si interseca l'intervallo delle soluzioni della disequazione equivalente $\cos \theta + \sin \theta \geq 1$ con l'intervallo $[\theta_1,\theta_2]$.
Ciao Mephlip,
Onestamente non mi ci sono soffermato più di tanto perché per costruzione $p >= 0 $, quindi in realtà si ha:
$ 0 < 1/(cos(\theta) + sin(\theta)) <= p <= 1 $
"Mephlip":
a meno di (come sono sicuro che abbia fatto pilloeffe) aver già dimostrato prima che $ cos\theta + sin\theta > 0 $
Onestamente non mi ci sono soffermato più di tanto perché per costruzione $p >= 0 $, quindi in realtà si ha:
$ 0 < 1/(cos(\theta) + sin(\theta)) <= p <= 1 $
"Mephlip":
Non vorrei risultare pedante
Per niente. Anzi, grazie della precisazione.
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