Coordinate polari in $\mathbb{R}^n$
Non so come scrivere un punto in coordinate polari in $\mathbb{R}^n$,
cioè immagino che ci dovrà essere un modulo e $n-1$ angoli, ma non so quali angoli si intende...
alla fine devo fare un cambio in coordinate polari in un integrale su $\mathbb{R}^n$
non so nemmeno dove andarlo a cercare... in rete non riesco a trovare molto di comprensibile e approfondito
in realtà non so neanche se è la sezione giusta!
cioè immagino che ci dovrà essere un modulo e $n-1$ angoli, ma non so quali angoli si intende...
alla fine devo fare un cambio in coordinate polari in un integrale su $\mathbb{R}^n$
non so nemmeno dove andarlo a cercare... in rete non riesco a trovare molto di comprensibile e approfondito
in realtà non so neanche se è la sezione giusta!
Risposte
http://it.wikipedia.org/wiki/Integrale_multiplo
C'è una parte che tratta il passaggio alle coordinate polari. Forse è quello che cerchi.
C'è una parte che tratta il passaggio alle coordinate polari. Forse è quello che cerchi.
Non è stato banale, ma ho trovato questo:
http://en.wikipedia.org/wiki/Hyperspher ... oordinates
Spero sia giusto...
http://en.wikipedia.org/wiki/Hyperspher ... oordinates
Spero sia giusto...
...Evidentemente allora, sono io l'impedito a cercare! (a wikipedia non ci pensavo proprio e invece...)
Grazie! Adesso mi butto nella lettura e magari dopo posto qualche considerazione o dubbio...
Bene, ho trovato tutto quello che cercavo qui:
grazie ad entrambi.
solo una cosa non mi è chiara...
lui si ricava
$\tan(\phi_{n-1})=\frac{x_n}{x_{n-1}}$
$\tan(\phi_{n-2})=\frac{\sqrt{{x_n}^2+{x_{n-1}}^2}}{x_{n-2}}$
eccetera
$\tan(\phi_1) =\frac{\sqrt{{x_n}^2+{x_{n-1}}^2+\cdots+{x_2}^2}}{x_{1}}$
e va bene, poi dice
perchè?
"Fioravante Patrone":
Non è stato banale, ma ho trovato questo:
http://en.wikipedia.org/wiki/Hyperspher ... oordinates
grazie ad entrambi.
solo una cosa non mi è chiara...
lui si ricava
$\tan(\phi_{n-1})=\frac{x_n}{x_{n-1}}$
$\tan(\phi_{n-2})=\frac{\sqrt{{x_n}^2+{x_{n-1}}^2}}{x_{n-2}}$
eccetera
$\tan(\phi_1) =\frac{\sqrt{{x_n}^2+{x_{n-1}}^2+\cdots+{x_2}^2}}{x_{1}}$
e va bene, poi dice
Note that last angle $\phi_{n-1}$, has a range of 2π while the other angles have a range of π
perchè?
Non ti so dare una risposta precisa, perché non mi sonomai dovuto "sbattere" con queste coordinate.
Ma non è una generalizzazione di ciò che avviene con le coordinate sferiche?
La "longitudine" varia da 0 a 2pi
La "latitudine da -pi/2 a pi/2 (insomma, ha uno "span" di soli pi radianti, non di 2pi).
(Vedi: http://en.wikipedia.org/wiki/Spherical_ ... ate_system)
E' ovviamente un problema di iniettività ("quasi dappertutto", perché ci sono o buchi o eccezioni...) che induce queste restrizioni, quindi è su questo che bisognerebbe puntare per capire le scelte fatte.
Ma non è una generalizzazione di ciò che avviene con le coordinate sferiche?
La "longitudine" varia da 0 a 2pi
La "latitudine da -pi/2 a pi/2 (insomma, ha uno "span" di soli pi radianti, non di 2pi).
(Vedi: http://en.wikipedia.org/wiki/Spherical_ ... ate_system)
E' ovviamente un problema di iniettività ("quasi dappertutto", perché ci sono o buchi o eccezioni...) che induce queste restrizioni, quindi è su questo che bisognerebbe puntare per capire le scelte fatte.
La formula delle coordinate polari in $RR^N$ si scrive (in maniera sintetica):
$\int_RR^N f(x)" d"x=\int_0^(+oo)\{ \int_(\partial B(x_0;r) ) f(x_0+u) "d" sigma(u)\} " d"r$
in cui $x_0 \in RR^N$ è il centro delle coordinate, $\partial B(x_0;1):=\{ u\in RR^N:\ |x_0-u|=r\}$ è la sfera di centro $x_0$ e raggio $r$ e $sigma(u)$ è la misura di superficie su $\partial B(x_0;r)$.
L'idea è sempre la stessa: mi metto in $x_0$ e scrivo $RR^N$ come unione delle sfere di centro $x_0$, ossia $RR^N=\bigcup_(r>=0) \partial B(x_0;r)$, integro la $f$ su ogni "sfoglia" sferica, infine "sommo" tutti i contributi facendo l'integrale su $r \in[0,+oo[$.
Molte volte, ossia se non si devono fare conti espliciti in "casi strani", questa formula basta.
Infatti, ad esempio, se la $f$ è radiale rispetto ad $x_0$, ossia se $f(x)=f(|x-x_0|)$, la formula precedente restituisce:
$\int_RR^N f(x)" d"x=\int_0^(+oo) \{ \int_(\partialB(x_0;r)) f(|x-x_0|) " d"sigma(u) \}" d"r$
$\quad \quad= \int_0^(+oo) f(r) \{ \int_(\partial B(x_0;r)) "d" sigma(u)\}" d"r$
$\quad \quad =\int_0^(+oo) f(r) N\omega_Nr^(N-1)" d"r$
ove si è tenuto presente che la superficie della sfera $\partial B(x_0;r)$ è $\int_(\partial B(x_0;r)) "d"sigma(u)=Nomega_Nr^(N-1)$ con $omega_N="volume della palla unitaria di "RR^N=(pi^(N/2))/(Gamma(N/2+1))$.
$\int_RR^N f(x)" d"x=\int_0^(+oo)\{ \int_(\partial B(x_0;r) ) f(x_0+u) "d" sigma(u)\} " d"r$
in cui $x_0 \in RR^N$ è il centro delle coordinate, $\partial B(x_0;1):=\{ u\in RR^N:\ |x_0-u|=r\}$ è la sfera di centro $x_0$ e raggio $r$ e $sigma(u)$ è la misura di superficie su $\partial B(x_0;r)$.
L'idea è sempre la stessa: mi metto in $x_0$ e scrivo $RR^N$ come unione delle sfere di centro $x_0$, ossia $RR^N=\bigcup_(r>=0) \partial B(x_0;r)$, integro la $f$ su ogni "sfoglia" sferica, infine "sommo" tutti i contributi facendo l'integrale su $r \in[0,+oo[$.
Molte volte, ossia se non si devono fare conti espliciti in "casi strani", questa formula basta.
Infatti, ad esempio, se la $f$ è radiale rispetto ad $x_0$, ossia se $f(x)=f(|x-x_0|)$, la formula precedente restituisce:
$\int_RR^N f(x)" d"x=\int_0^(+oo) \{ \int_(\partialB(x_0;r)) f(|x-x_0|) " d"sigma(u) \}" d"r$
$\quad \quad= \int_0^(+oo) f(r) \{ \int_(\partial B(x_0;r)) "d" sigma(u)\}" d"r$
$\quad \quad =\int_0^(+oo) f(r) N\omega_Nr^(N-1)" d"r$
ove si è tenuto presente che la superficie della sfera $\partial B(x_0;r)$ è $\int_(\partial B(x_0;r)) "d"sigma(u)=Nomega_Nr^(N-1)$ con $omega_N="volume della palla unitaria di "RR^N=(pi^(N/2))/(Gamma(N/2+1))$.
Si intuitivamente mi tornava, in analogia con $\mathbb{R}^3$, ma volevo cercare di capire il motivo per cui posso affermarlo in $\mathbb{R}^n$...
il determinante del cambio di variabili mi torna che sia $r^{n-1} *sen^{n-2}(\phi_1)*...*sen(\phi_{n-2})$
infatti se la $M_n$ è la matrice jacobiana del cambio di coordinate in $\mathbb{R}^n$, risulta con qualche conto $|M_n|=[x_n]/[sen(\phi_{n-1})]*|M_{n-1}|$ e da qui si procede per induzione
Tornando al range degli angoli...
per invertire $tg(\theta)=[sen(\theta)]/[cos(\theta)]$ in $2\pi$ bisogna conoscere anche il segno del coseno,
$x=cos(\theta)$ $y=sen(\theta)$
di modo da poter definire $arctg_2(x,y)=\{ (arctg([y]/[x]) \ \ se\ x>0), (arctg([y]/[x])+\pi \ \ se \ x<0):}
penso che la restrizione c'entri qualcosa col fatto che al numeratore delle $tan(\phi_k)$ con $k\nen-1$ c'è una quantità positiva, ma non riesco a capire come proseguire in maniera formale...
il determinante del cambio di variabili mi torna che sia $r^{n-1} *sen^{n-2}(\phi_1)*...*sen(\phi_{n-2})$
infatti se la $M_n$ è la matrice jacobiana del cambio di coordinate in $\mathbb{R}^n$, risulta con qualche conto $|M_n|=[x_n]/[sen(\phi_{n-1})]*|M_{n-1}|$ e da qui si procede per induzione
Tornando al range degli angoli...
per invertire $tg(\theta)=[sen(\theta)]/[cos(\theta)]$ in $2\pi$ bisogna conoscere anche il segno del coseno,
$x=cos(\theta)$ $y=sen(\theta)$
di modo da poter definire $arctg_2(x,y)=\{ (arctg([y]/[x]) \ \ se\ x>0), (arctg([y]/[x])+\pi \ \ se \ x<0):}
penso che la restrizione c'entri qualcosa col fatto che al numeratore delle $tan(\phi_k)$ con $k\nen-1$ c'è una quantità positiva, ma non riesco a capire come proseguire in maniera formale...
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