Coordinate polari in limiti per 2 variabili
Nella maggiorazione di funzioni in due variabili durante la ricerca dei limiti nell' origine, dopo essersi assicurato che lungo ogni direzione il limite sia uguale, bisogna procedere con la maggiorazione della funzione per verificare l' effettiva esistenza di tale limite.E' possibile trasferire tutto in coordinate polari e maggiorare il limite in coordinate polari (in coordinate polari la maggiorazione è più semplice..)
Risposte
si
E' giusto dire che nella maggiorazione non devo tener conto dell' uniformità del limite in coordinate polari rispetto all' angolo , mentre se volessi controllare lungo le direzioni ne dovrei tener conto?
MMMh com'è detta male questa cosa! Tu vuoi dire che, usando maggiorazioni, puoi scansare il fastidio di controllare l'uniformità rispetto al parametro \(\theta\). Ma questo non è vero: se vuoi dimostrare che \(f(r, \theta)\to 0\) per \(r \to 0\) (il caso più comune), devi cercare una stima del tipo
\[\lvert f(r, \theta)\rvert \le g(r), \]
dove \(g(r) \to 0\). Se trovi una cosa del genere automaticamente hai uniformità rispetto a \(\theta\) nel membro sinistro, è chiaro: basta passare al sup rispetto a \(\theta\) per ottenere la disuguaglianza
\[\sup_{\theta \in [0, 2\pi]} \lvert f(r, \theta)\rvert \le g(r), \]
e quindi, come vedi, una stima uniforme in \(\theta\).
\[\lvert f(r, \theta)\rvert \le g(r), \]
dove \(g(r) \to 0\). Se trovi una cosa del genere automaticamente hai uniformità rispetto a \(\theta\) nel membro sinistro, è chiaro: basta passare al sup rispetto a \(\theta\) per ottenere la disuguaglianza
\[\sup_{\theta \in [0, 2\pi]} \lvert f(r, \theta)\rvert \le g(r), \]
e quindi, come vedi, una stima uniforme in \(\theta\).
Innanzitutto grazie per la disponibilità.
Il dubbio riguarda una cosa del genere:
Il limite , per $(x,y) -> (0,0)$ della funzione $f(x,y)= xy^2/(x+y) $
essendo $ f(x,0) = f(0,y) =0 $ e il limite per $x->0$ di $f(x,mx) = 0$ , so che il limite lungo ogni retta passante per l' origine esiste (suppongo esista per ogni parabola e direzione), ora devo verificarne l' esistenza effettiva...
passo in coordinate polari , ottengo
limite per $r->0$ di $ (r^3 cosx (sen(x))^2)/(r(cosx+senx)) $... a questo punto posso maggiorare con $ r^3 /(2r)$ ?? (essendo sia il coseno che il seno funzioni che assumono 1 come valore massimo)...
il fatto è che facendo così troverei che il limite è 0, ma trascurerei l' angolo $3/4pi$ dove il denominatore della funzione originale trasformata in coordinate polari si annulla, dando vita ad una forma indeterminata...
Il dubbio riguarda una cosa del genere:
Il limite , per $(x,y) -> (0,0)$ della funzione $f(x,y)= xy^2/(x+y) $
essendo $ f(x,0) = f(0,y) =0 $ e il limite per $x->0$ di $f(x,mx) = 0$ , so che il limite lungo ogni retta passante per l' origine esiste (suppongo esista per ogni parabola e direzione), ora devo verificarne l' esistenza effettiva...
passo in coordinate polari , ottengo
limite per $r->0$ di $ (r^3 cosx (sen(x))^2)/(r(cosx+senx)) $... a questo punto posso maggiorare con $ r^3 /(2r)$ ?? (essendo sia il coseno che il seno funzioni che assumono 1 come valore massimo)...
il fatto è che facendo così troverei che il limite è 0, ma trascurerei l' angolo $3/4pi$ dove il denominatore della funzione originale trasformata in coordinate polari si annulla, dando vita ad una forma indeterminata...
Ma no, c'è un errore molto banale. Prima di vedere qual è, facciamo qualche considerazione.
Intanto non ti scordare il valore assoluto: devi stimare
\[\left\lvert \frac{r^2 \cos x (\sin x)^2}{\cos x+ \sin x}\right\rvert.\]
Questo si riduce al calcolo del sup della funzione
\[\left\lvert\frac{\cos x (\sin x)^2}{\cos x+ \sin x}\right\rvert,\]
ed è un esercizio di Analisi 1 che devi essere in grado di risolvere.
Detto questo, veniamo al tuo errore: tu dici che, siccome \(\lvert \cos x+ \sin x\rvert \le 2\) (che è vero), allora
\[\left\lvert\frac{1}{\cos x+ \sin x}\right\rvert\le \frac{1}{2}, \]
ed è falsissimo: ricorda che le disuguaglianze si invertono nel passaggio al reciproco.
Intanto non ti scordare il valore assoluto: devi stimare
\[\left\lvert \frac{r^2 \cos x (\sin x)^2}{\cos x+ \sin x}\right\rvert.\]
Questo si riduce al calcolo del sup della funzione
\[\left\lvert\frac{\cos x (\sin x)^2}{\cos x+ \sin x}\right\rvert,\]
ed è un esercizio di Analisi 1 che devi essere in grado di risolvere.
Detto questo, veniamo al tuo errore: tu dici che, siccome \(\lvert \cos x+ \sin x\rvert \le 2\) (che è vero), allora
\[\left\lvert\frac{1}{\cos x+ \sin x}\right\rvert\le \frac{1}{2}, \]
ed è falsissimo: ricorda che le disuguaglianze si invertono nel passaggio al reciproco.
giusto, ho sbagliato.
allora penso sia giusto dire che $ |1/(cosx+senx)| $ non può essere maggiorato in quanto al variare di x può essere reso grande a piacere... (in $x= 3/4pi$ assume valore +oo )...
appunto come tu mi hai fatto notare, il sup della funzione $|(cos(x)sin^2(x))/(cosx+sinx)|$ è $ +oo$ e si ha in $ x= 3/4pi + kpi $ ... quindi non posso maggiorarla?..sono un pò confuso, in ogni caso grazie davvero.
allora penso sia giusto dire che $ |1/(cosx+senx)| $ non può essere maggiorato in quanto al variare di x può essere reso grande a piacere... (in $x= 3/4pi$ assume valore +oo )...
appunto come tu mi hai fatto notare, il sup della funzione $|(cos(x)sin^2(x))/(cosx+sinx)|$ è $ +oo$ e si ha in $ x= 3/4pi + kpi $ ... quindi non posso maggiorarla?..sono un pò confuso, in ogni caso grazie davvero.
Il sup in effetti è \(+\infty\), il che è un guaio, e ce lo dovevamo aspettare. Guarda la funzione assegnata:
\[f(x, y)=x \frac{y^2}{x+y}.\]
Cosa succede sulla retta \(y=-x\)? (che, guarda caso, ha coefficiente angolare \(3/4 \pi\))
In queste condizioni è un po' difficile pensare che il limite possa esistere. Disegna la retta singolare e appunta sul piano il segno di \(f(x, y)\) in un intorno di \((0, 0)\). Ti accorgerai che la funzione assume sia valori positivi arbitrariamente grandi sia valori negativi arbitrariamente grandi. Ce n'è a sufficienza per concludere.
\[f(x, y)=x \frac{y^2}{x+y}.\]
Cosa succede sulla retta \(y=-x\)? (che, guarda caso, ha coefficiente angolare \(3/4 \pi\))
In queste condizioni è un po' difficile pensare che il limite possa esistere. Disegna la retta singolare e appunta sul piano il segno di \(f(x, y)\) in un intorno di \((0, 0)\). Ti accorgerai che la funzione assume sia valori positivi arbitrariamente grandi sia valori negativi arbitrariamente grandi. Ce n'è a sufficienza per concludere.
Mi trovo..ad esempio nel 2° quadrante immediatamente "sopra" la retta il denominatore diventa vicino allo 0 ma con segno negativo, e la funzione va a $-oo$ .. immediatamente "sotto" invece il denominaore si avvicina a zero dalla destra, e la funzione va a $+oo$ .. grazie mille ancora!
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