Coordinate polari
sia $B_r$ la palla aperta $n$-dimensionale centrata in 0 e $f$ continua in $B_r$.
Come si scrive
$\int_{B_r}f(x)dx$ in coordinate polari?
Come si scrive
$\int_{B_r}f(x)dx$ in coordinate polari?
Risposte
Insomma, traslando un po' chiedi come si calcola il volume di una $n-$sfera....
Ci sono un paio di funzioni gamma da evocare, ora sinceramente non ti so dire con esattezza, comunque è una cosa piuttosto standard, la trovi senz'altro su un qualche libro, senz'altro su quelli di meccanica statistica (dove questi integrali sono vitali)
Ci sono un paio di funzioni gamma da evocare, ora sinceramente non ti so dire con esattezza, comunque è una cosa piuttosto standard, la trovi senz'altro su un qualche libro, senz'altro su quelli di meccanica statistica (dove questi integrali sono vitali)
Una dimostrazione si trova sul Marcellini-Sbordone Analisi 2 (pg. 447-448).
A me sembra che il quesito richieda la traformazione di un integrale di una non meglio definita '$f$continua in $B_r$' da coordinate 'cartesiane' [così almeno è dato capire...] in non meglio definite 'coordinate polari' e non già il calcolo effettivo dell'integrale stesso. Bisogna dire che in tal caso la dizione utilizzata è quanto meno un poco 'approssimativa', giacchè le 'coordinate polari' nell'accezione usuale sono definite in due dimensioni e non è chiaro che cosa divengono nel caso di $n$ dimensioni...
cordiali saluti
lupo grigio
An old wolf may lose his teeth, but never his nature
cordiali saluti
lupo grigio
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No, ti sbagli, esistono delle coordinate in $RR^n$ che sono dette coordinate polari.
Però sono un po' diverse... per $n=2$ non coincidono con quelle in $RR^2$.
Più precisamente: usiamo direzione e modulo del vettore $x$ ($y=x/|x|$, $r=|x|$)
Venendo alla domanda:
$\int_{B_r}f(x)dx=\int_0^r \rho^{n-1} \int_{S_1}f(\rho y)d\sigma(y) d\rho$
Però sono un po' diverse... per $n=2$ non coincidono con quelle in $RR^2$.
Più precisamente: usiamo direzione e modulo del vettore $x$ ($y=x/|x|$, $r=|x|$)
Venendo alla domanda:
$\int_{B_r}f(x)dx=\int_0^r \rho^{n-1} \int_{S_1}f(\rho y)d\sigma(y) d\rho$
grazie irene!
Sì, mi pare di aver capito. Si tratta della estensione in $RR^n$ di quelle che a suo tempo ho conosciuto come 'Formule di Gauss-Green' [per $n=2$ erano dette 'nel piano', per $n=3$ erano dette 'nello spazio'...]. Ok!... alcune domande 'da profano'... se non sono indiscreto...
- perchè nella domanda originaria si richiede '$f$ continua in $B_r$'?... la continuità di $f$ è 'condizione necessaria' per l'integrabilità?...
- perchè susistono terminologie indentiche ['coordinate polari'...] per indicare entità differenti non solo in contesti differenti, ma anche nello stesso contesto [nello specifico in due dimensioni...]?... non si corre il rischio di fare confusione?...
cordiali saluti
lupo grigio
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- perchè nella domanda originaria si richiede '$f$ continua in $B_r$'?... la continuità di $f$ è 'condizione necessaria' per l'integrabilità?...
- perchè susistono terminologie indentiche ['coordinate polari'...] per indicare entità differenti non solo in contesti differenti, ma anche nello stesso contesto [nello specifico in due dimensioni...]?... non si corre il rischio di fare confusione?...
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lupo grigio
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La confusione di solito non c'è perché questo tipo di coordinate polari viene usato in altri contesti in cui viene specificato esplicitamente che ci si pone in dimensione qualsiasi (e dunque queste sono le uniche sensate da considerare).
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