Coordinate polari

[phigreco1]

Ho questo insieme che mi indica il dominio:
$C={(x, y) : x^2+y^2<=9, x^2+y^2 - 2x>=0}$
E devo calcolare questo integrale:
$\int_C x^2+y^2dxdy$
Vedo che le equazioni del dominio formano due circonferenze, la prima di raggio 3 e centro nell'origine e la seconda di raggio 1 e centro in 1.
E mi accorgo che l'insieme C è simmetrico rispetto all'asse $x$ e pari rispetto a quell'asse quindi posso trasformare l'integrale in tal modo:
$2\int_(C') x^2+y^2dxdy$ con $C'={(x, y) : x^2+y^2<=9, x^2+y^2 - 2x>=0, y>=0}$

Ora, vorrei integrare utilizzando le coordinate polari:
$\phi : \{(x=rcos\theta),(y=rsin\theta):}$ con $\theta in [0,2pi)$ e$det(J(\phi))=r$
Riscrivo le condizioni dell'insieme sostituendo le coordinate polari $C'$:

[*:1ccixkvg] $ x^2+y^2<=9 => r^2<=9 => r<=3$
[/*:m:1ccixkvg]
[*:1ccixkvg] $y>=0 => rsin\theta>=0 => 0<=\theta<=pi$
[/*:m:1ccixkvg]
[*:1ccixkvg] $x^2+y^2 - 2x>=0 => r^2-2rcos\theta>=0 =>2rcos\theta<=r^2 => cos\theta<=r/2 => -pi/3<=\theta<=pi/3$[/*:m:1ccixkvg][/list:u:1ccixkvg]

Il mio problema è proprio quest'ultima condizione infatti esplicando le condizioni così dovrei integrare su questo insieme:
${(r,\theta): 0<=r<=3, pi/3<=\theta<=pi}$
Ma così facendo otterrei come risultato:
$2[\int_0^3\int_(pi/3)^pi r^2 rdxdy]=27pi$
Il che è errato...

L'insieme giusto di integrazione è: ${(r,\theta): 2cos\theta<=r<=3, 0<=\theta<=p/2i} uu {(r,\theta): 0<=r<=3, pi/2<=\theta<=pi} $
Potreste spiegarmi perché l'insieme corretto è questo e perché la terza condizione deve essere esplicata in $r$ e non in $\theta$ ottenendo appunto $r>=2cos\theta$?

[size=150]Vi prego, aiutatemi. So che ho scritto molto ma l'aiuto richiesto non richiede qualcosa di altrettanto lungo.[/size]

[Lo_zio_Tom]

Non sono a casa e non ho carta e penna. ..ma farei così

$ int_(2 costheta)^(3) int_(0)^(pi/2)...+int_(0)^(3) int_(pi /2)^(pi) $


Vedi se così torna ( ho fatto i conti a mente. ...)

[Lo_zio_Tom]

L'ultima condizione si scrive

$ rho (rho-2costheta)> 0$

Ovvero

$ rho-2costheta> 0$

Ora, per $ pi/2
Mentre per $0
Ciao

[phigreco1]

"tommik":Non sono a casa e non ho carta e penna. ..ma farei così

$ int_(2 costheta)^(3) int_(0)^(pi/2)...+int_(0)^(3) int_(pi /2)^(pi) $


Vedi se così torna ( ho fatto i conti a mente. ...)

Sì, così è giusto poiché è stato utilizzato proprio l'insieme giusto di integrazione: ${(r,\theta): 2cos\theta<=r<=3, 0<=\theta<=p/2i} uu {(r,\theta): 0<=r<=3, pi/2<=\theta<=pi} $

"tommik":L'ultima condizione si scrive

$ rho (rho-2costheta)> 0$

Ovvero

$ rho-2costheta> 0$

Ora, per $ pi/2
Mentre per $0
Ciao

Continuo a non capire questo pezzo

[Lo_zio_Tom]

Cosa non capisci?

[Lo_zio_Tom]

Prova a fare il grafico. Da $ pi/2

Cita

Segnala

[Lo_zio_Tom]

Da $0
$rho <3$

$ rho> 2costheta $


Mettile insieme ed hai risolto

[phigreco1]

Non capisco perché non bisogna fare $cos\theta <= rho/2$ ottenendo l'intervallo di cui parlavo io...

[phigreco1]

Non avevo caricato la pagina e non avevo visto le tue due risposte successive grazie ad esse ora mi è tutto chiaro. Sei stato gentilissimo, ti ringrazio

[Lo_zio_Tom]

Bene! Ora però cerca di capire anche il metodo analitico....ovvero quello senza il grafico

[phigreco1]

Spero che tra qualche esercizio diventi tutto automatico