Coordinate del centroide di un triangolo
Ciao ragazzi, devo trovare la coordinata y del centroide del triangolo che nel piano xy ha vertici (0,0),(3,0),(1,2) mediante integrali doppi.
La formula è $ 1/(|Omega|)int int_(Omega)y dx dy $
Adesso mi viene il dubbio. Devo trasformare il triangolo in y semplice?
Se così fosse troverei il triangolo diviso in due parti, cioè:
$ T_1={(x,y)|0<=x<=1, 0<=y<=x+1} $ e $ T_2={(x,y)|1<=x<=3, 0<=y<=3-x} $
è giusto come inizio oppure ho sballato di brutto?
Grazie
La formula è $ 1/(|Omega|)int int_(Omega)y dx dy $
Adesso mi viene il dubbio. Devo trasformare il triangolo in y semplice?
Se così fosse troverei il triangolo diviso in due parti, cioè:
$ T_1={(x,y)|0<=x<=1, 0<=y<=x+1} $ e $ T_2={(x,y)|1<=x<=3, 0<=y<=3-x} $
è giusto come inizio oppure ho sballato di brutto?
Grazie
Risposte
Il triangolo è:
[asvg]xmin=0; xmax=3; ymin=0; ymax=3;
axes("","");
strokewidth=2; stroke="red"; fill="orange"; path([[0,0],[3,0],[1,2],[0,0]]);[/asvg]
e lo puoi vdere sia come normale ad \(x\) sia come normale ad \(y\)... Dipende da come i conti vengono più semplici.
[asvg]xmin=0; xmax=3; ymin=0; ymax=3;
axes("","");
strokewidth=2; stroke="red"; fill="orange"; path([[0,0],[3,0],[1,2],[0,0]]);[/asvg]
e lo puoi vdere sia come normale ad \(x\) sia come normale ad \(y\)... Dipende da come i conti vengono più semplici.
Ok, grazie mille! Ma una volta a questo punto, cosa devo fare? cioè devo trovare il centroide dei due triangolini e sommare i risultati dei due integrali? 
cioè devo trovare il centroide dei due triangolini e sommare i risultati dei due integrali?
"TeM":
[quote="Sossella"]devo trovare il centroide dei due triangolini e sommare i risultati dei due integrali?
Assolutamente no!! Puoi benissimo trovare i rispettivi centroidi \(y_{G1}\) e \(y_{G2}\) dei due triangolini di area \(A_1\) e \(A_2\)
che sono una partizione del triangolo in esame, ma poi per trovare il centroide di quest'ultimo occorre applicare
la proprietà distributiva del centroide, in altri termini lo si calcola tramite una media pesata in cui i pesi sono le
rispettive aree: \(y_G = \frac{A_1\,y_{G_1} + A_2\,y_{G_2}}{A_1 + A_2}\). A questo punto, dovresti cominciare a capire perché sopra ho scritto che sa-
rebbe stato più conveniente considerare quel triangolo come insieme x-semplice.
[/quote]Ok, grazie! Non sapevo dell'esistenza della media pesata
Ecco come ho risolto l'esercizio:$ |Omega_(T_1)|= int_(0)^(1) int_(0)^(2x) dx dy=1 $
$ |Omega_(T_2)|= int_(1)^(3) int_(0)^(3-x) dx dy=2 $
$ y_(c_(1))=1/|Omega_(T_1)|int_(0)^(1) int_(0)^(2x) ydx dy=2/3 $
$ y_(c_(2))=1/|Omega_(T_2)|int_(1)^(3) int_(0)^(3-x) ydx dy=2/3 $
$ y_c=(1*(2/3)+2*(2/3))/(2+1)=2/3 $
Grazie ancora
Ciao ancora 
non riesco a capire dove sbaglio con questo triangolo..l'avrò rifatto mille volte 
Calcolare $ int int_(T) x^2ydx dy $ del triangolo T di vertici $ (-1,0) (0,2) (3,0) $
Allora, calcolandolo in y semplice ottengo:
$ T_1={(x,y)|-1<=x<=0, 0<=y<=2x+2} $ e $ T_2={(x,y)|0<=x<=3, 0<=y<=2-(2/3)x} $
$ I_1=int_-1^0 int_0^(2x+2)x^2ydydx=int_-1^0 (x^2(2x+2)^2)/2dx=1/15 $
$ I_2=int_0^3 int_0^(2-2/3x)x^2ydydx=int_0^3 (x^2(2-2/3x)^2)/2dx=18/5 $
$ I=I_1+I_2=55/15=11/3 $
Ma il risultato del libro è $28/15$
Non capisco se sono io che non sono capace di fare i conti o se mi manca qualcos'altro per finire l'esercizio
non riesco a capire dove sbaglio con questo triangolo..l'avrò rifatto mille volte Calcolare $ int int_(T) x^2ydx dy $ del triangolo T di vertici $ (-1,0) (0,2) (3,0) $
Allora, calcolandolo in y semplice ottengo:
$ T_1={(x,y)|-1<=x<=0, 0<=y<=2x+2} $ e $ T_2={(x,y)|0<=x<=3, 0<=y<=2-(2/3)x} $
$ I_1=int_-1^0 int_0^(2x+2)x^2ydydx=int_-1^0 (x^2(2x+2)^2)/2dx=1/15 $
$ I_2=int_0^3 int_0^(2-2/3x)x^2ydydx=int_0^3 (x^2(2-2/3x)^2)/2dx=18/5 $
$ I=I_1+I_2=55/15=11/3 $
Ma il risultato del libro è $28/15$
Non capisco se sono io che non sono capace di fare i conti o se mi manca qualcos'altro per finire l'esercizio
praticamente se avessi considerato in x-semplice avrei avuto lo stesso intervallo di integrazione in y (0,1) nei due domini
"TeM":
Se si considera quel triangolo come insieme x-semplice, si ha \[ T = \left\{(x,\,y) \in \mathbb{R}^2 : 0 \le y \le 2, \; \frac{1}{2}y - 1 \le x \le - \frac{3}{2}y + 3 \right\} \] da cui, banalmente, segue che \[ \iint\limits_T x^2\,y\,dx\,dy = \int_0^2 \left(\int_{\frac{1}{2}y - 1}^{- \frac{3}{2}y + 3} x^2\,y\,dx\right) dy = \frac{28}{15} \; . \] Come dovrebbe essere evidente, così facendo è sufficiente calcolare un integrale in luogo di due.
Si si hai ragione
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