Coordinate cilindriche

[gbspeedy]

devo calcolare $\int_E (xy)/(2+x^2+y^2-z)^2 dx dy dz$ su $E={(x,y,z):y se parametrizzo E in coordinate cilindriche è giusto ottenere:$E={(r,theta,z): -pi/2

Cita

Segnala

---

Risposte

ciampax

17 gen 2013, 11:42

Non mi torna: nel piano $xOy$ tu hai un dominio costituito dall'interno di $x^2+y^2-x=0$ intersecato l'esterno di $x^2+y^2-y=0$: queste due sono circonferenze di centri rispettivi $(1/2,0)$ e $(0,1/2)$ e raggi $1/2$, che si intersecano in due punti $(0,0)$ e $(1/2,1/2)$. Se guardi attentamente, la figura va spezzata in due parti al fine di poter trattare agevolmente le limitazioni. Io direi che hai

$\theta\in[-\pi/2,0],\ 0\le\rho\le \cos\theta$ e $\theta\in[0,\pi/2],\ \sin\theta\le\rho\le\cos\theta$.

Per il resto è a posto.

Cita

Segnala

---

gbspeedy

17 gen 2013, 16:01

da $sintheta 1) $sintheta<0 2) $0

Cita

Segnala

---

ciampax

17 gen 2013, 16:49

Esatto. (scusa, ho scritto $\pi/2$ nel secondo caso ma era $\pi/4$).

Cita

Segnala

---

gbspeedy

17 gen 2013, 21:33

ho provato a fare il calcolo ma viene complicato

Cita

Segnala

---

ciampax

19 gen 2013, 14:32

Effettivamente non viene una cosa semplice, anzi. Sto pensando che forse non è intelligente effettuare il cambiamento di coordinate. Infatti, se chiami $E'$ il dominio nel piano $xOy$ ti accorgi che l'integrale diventa

$\int\int_{E'}\int_0^{y^2}\frac{xy}{(x^2+y^2+2-z)^2}\ dz\ dx\ dy=\int\int_{E'}[\frac{xy}{x^2+y^2+2-z}]_0^{y^2}\ dx\ dy=\int\int_{E'}(\frac{xy}{x^2+2}-\frac{xy}{x^2+y^2+2})\ dx\ dy$

Ora, non vorrei sbagliare perché i conti per bene non gli ho fatti, ma mi pare che lavorando direttamente in coordinate cartesiane si arrivi a qualcosa. Ovviamente, bisogna spezzare quel dominio $E'$ almeno in un paio di pezzi, trovando le limitazioni (puoi considerare i vari pezzi normali rispetto ad entrambe le coordinate, mi pare).

Cita

Segnala

---

gbspeedy

19 gen 2013, 15:45

può andar bene ${(x,y)inR^2: 0 {(x,y)inR^2:1/2

Cita

Segnala

---

gbspeedy

19 gen 2013, 16:11

$\int_E (x+y)^2/(x^2+xy+y^2)dxdy$ con $E={(x,y):x^2+y^2<=1,x+y<1}$

anche in questo caso ho pensato di spezzarlo in 3 "sotto" domini.

Cita

Segnala

---

ciampax

19 gen 2013, 17:23

Sì, mi sembra perfetto. Ottimo così.

Cita

Segnala

---

Rispondi

Per rispondere a questa discussione devi prima effettuare il login.

[ciampax]

Non mi torna: nel piano $xOy$ tu hai un dominio costituito dall'interno di $x^2+y^2-x=0$ intersecato l'esterno di $x^2+y^2-y=0$: queste due sono circonferenze di centri rispettivi $(1/2,0)$ e $(0,1/2)$ e raggi $1/2$, che si intersecano in due punti $(0,0)$ e $(1/2,1/2)$. Se guardi attentamente, la figura va spezzata in due parti al fine di poter trattare agevolmente le limitazioni. Io direi che hai

$\theta\in[-\pi/2,0],\ 0\le\rho\le \cos\theta$ e $\theta\in[0,\pi/2],\ \sin\theta\le\rho\le\cos\theta$.

Per il resto è a posto.

[gbspeedy]

da $sintheta 1) $sintheta<0 2) $0

Cita

Segnala

[ciampax]

Esatto. (scusa, ho scritto $\pi/2$ nel secondo caso ma era $\pi/4$).

[gbspeedy]

ho provato a fare il calcolo ma viene complicato

[ciampax]

Effettivamente non viene una cosa semplice, anzi. Sto pensando che forse non è intelligente effettuare il cambiamento di coordinate. Infatti, se chiami $E'$ il dominio nel piano $xOy$ ti accorgi che l'integrale diventa

$\int\int_{E'}\int_0^{y^2}\frac{xy}{(x^2+y^2+2-z)^2}\ dz\ dx\ dy=\int\int_{E'}[\frac{xy}{x^2+y^2+2-z}]_0^{y^2}\ dx\ dy=\int\int_{E'}(\frac{xy}{x^2+2}-\frac{xy}{x^2+y^2+2})\ dx\ dy$

Ora, non vorrei sbagliare perché i conti per bene non gli ho fatti, ma mi pare che lavorando direttamente in coordinate cartesiane si arrivi a qualcosa. Ovviamente, bisogna spezzare quel dominio $E'$ almeno in un paio di pezzi, trovando le limitazioni (puoi considerare i vari pezzi normali rispetto ad entrambe le coordinate, mi pare).

[gbspeedy]

può andar bene ${(x,y)inR^2: 0 {(x,y)inR^2:1/2

Cita

Segnala

[gbspeedy]

$\int_E (x+y)^2/(x^2+xy+y^2)dxdy$ con $E={(x,y):x^2+y^2<=1,x+y<1}$

anche in questo caso ho pensato di spezzarlo in 3 "sotto" domini.

[ciampax]

Sì, mi sembra perfetto. Ottimo così.