Convoluzione tra segnali "opposti"

[merendina_891]

Buonasera a tutti,
sto cercando di "risolvermi" un dubbio,e avrei bisogno di una vostra conferma.
Vorrei effettuare la convoluzione tra due segnali $y(t) $ e $ g(t) $.
In realtà,il segnale $g(t)=y(-t)$,ma per comodità li indico rispettivamente $y(t)$ e $g(t)$.
Il segnale $ y(t) $ è un triangolo descritto dalla seguente equazione:


$y(t)=-t+4 $ per $ 2<=t<=4 $ e nullo altrove.

Il segnale $g(t)$ sarà rispettivamente $g(t)=t+4 per -4<=t<=-2$

Ora,applicando la definizione di convoluzione analitica si ottengono i seguenti integrali da svolgere:



INTEGRALE per $0<=t<=2$

$\ \int_0^(t-2) [(-t+4)*(-t-tau+4)]\ \text{d} tau $


per $t>2$ il triangolo sarà già COMPLETAMENTE uscito,e la convoluzione sarà pertanto nulla.


La situazione è questa poiché i due segnali sono "immediatamente" (per $t=0$) sovrapposti tra di loro.

Definita $z(t)$ la funzione convoluzione tra i due segnali:

$z(t)=y(t) star g(t)$

si ottiene la seguente,svolgendo i calcoli:

$z(t)=[(-t^2-4t+4)*(t/2-2)+(16-t^2)*(t-2)]$

Poiché il triangolo in t=0 è già completamente "immerso" nell'altro triangolo,la funzione $z(t)$ deve essere una funzione decrescente.
In t=2,invece deve risultare nulla.

Infatti:

$z(2)=0$,però $z(0)=-8-32=-40$

C'è una incongruenza in $z(0)$,perché la funzione dovrebbe essere decrescente.


Vi ringrazio e vi saluto.

[Quinzio]

"merendina_89":Buonasera a tutti,
sto cercando di "risolvermi" un dubbio,e avrei bisogno di una vostra conferma.
Vorrei effettuare la convoluzione tra due segnali $y(t) $ e $ g(t) $.
In realtà,il segnale $g(t)=y(-t)$,ma per comodità li indico rispettivamente $y(t)$ e $g(t)$.
Il segnale $ y(t) $ è un triangolo descritto dalla seguente equazione:


$y(t)=-t+4 $ per $ 2<=t<=4 $ e nullo altrove.

Il segnale $g(t)$ sarà rispettivamente $g(t)=t+4 per -4<=t<=-2$

Ora,applicando la definizione di convoluzione analitica si ottengono i seguenti integrali da svolgere:



INTEGRALE per $0<=t<=2$

$\ \int_0^(t-2) [(-t+4)*(-t-tau+4)]\ \text{d} tau $

Iniziamo per piccoli passi, così si capisce da dove veniamo e dove andiamo.

Riassumo.
Abbiamo (se ho capito bene):
$y(t)=-t+4,\ t\in[2,4] $
$g(t)=t+4,\ t\in[-4,-2]$
da far convolare.
Io per dare un senso fisico alla convoluzione prendo $y(t)$ come risposta all'impulso, perch è definita solo per $t>0$ altrimenti avremmo un sistema anticipatore che nella realtà non esiste (se esiste lo uso per giocare alla lotteria... !).

Quindi nel senso più generale la convoluzione è

$u(t)=int_(-oo)^(+oo)y(\tau)g(t-\tau)d\tau$

dove $u(t)$ è l'uscita del mio sistema.

Ovvero fissato un $t$, ovvero facendo una specie di "fotografia" al sistema, l'uscita del sistema si ottiene facendo spazzolare $\tau$ dall'inizio dei tempi fino alla fine dei tempi ( ).

Per dare un po' di senso fisico alla convoluzione, dicevamo, limitiamo la risposta all'impulso, evitando di anticipare il futuro.

$u(t)=int_(0)^(+oo)y(\tau)g(t-\tau)d\tau$

Se $y$ e $g$ fosssero funzioni definite da $0$ a $+oo$ per $y$ e da $-oo$ a $+oo$ per $g$ i nostri problemi sarebbero già finiti perchè scriverei

$u(t)=int_(0)^(t)y(\tau)g(t-\tau)d\tau$

e potrei già passare al magico mondo della matematica dove si risolve l'integrale con le sue belle regole matematiche senza più pensare a cosa è $t$ e cosa è $\tau$.
Invece le cose sono più complicate.
Intanto $y$ esiste solo in $[2,4]$, per cui avrebbe senso scrivere qualcosa del tipo

$u(t)=int_(2)^(4)y(\tau)g(t-\tau)d\tau$

anche perchè con questo giochino io tratto $y(\tau)$ come se fosse definita in $[-oo,+oo]$, cioè $y(\tau)=-t+4, \ \tau\in RR$.
Adesso devo sistemare $g$ con qualche giochino analogo.
I primi valori di $g$ che vengono "introdotti" nell'integrale iniziano da $-4$, prima di $-4$ devo troncare l'integrale, e questo lo faccio limitando l'estreno superiore. Siccome la variabile indipendente di $g$ è $t-\tau$, allora $t-\tau=-4$ cioè $\tau = t+4$. Estremo superiore $t+4$.

$u(t)=int_(2)^(t+4)y(\tau)g(t-\tau)d\tau$
Ovviamente questo giochino dura finchè $tau<4$, cioè $t<0$, quindi

$u(t)=\int_(2)^(t+4)y(\tau)g(t-\tau)d\tau, \ t\in[-2,0]$.

Con trucchetti analoghi e con i dovuti aggiustamenti si trova il pezzo mancante, (che svolgerai tu per esercizio ) per cui:

$u(t)={(\int_(2)^(t+4)y(\tau)g(t-\tau)d\tau, \ t\in[-2,0]),(\int_(t+2)^(4)y(\tau)g(t-\tau)d\tau, \ t\in[0,2]):}$.

E adesso si passa al mondo magico della matematica e non resta che applicare le regole degli integrali e fare i calcoli.