Convoluzione tra n Gaussiane
Sale a tutti.
Mi sono imbattuto in questo problema da cui non riesco a venire a capo.
Sia $ phi(x)= e^-(pix^2) $ e $ psi(n)= phi** phi**...**phi $ (n volte).
a) Mostrare che $ ||psi(n)|| = 1 $ in L1(R)
b) Mostrare che $ ||psi(n)|| rarr 0 $ in L2(R)
c) stabilire se $ psi(n) $ converge uniformemente (limitando l'attenzione per semplicità al caso in cui i numeri n siano potenze di 2)
(Suggerimento: usare le proprietà della trasformata di Fourier di $ psi(n) $ )
Ho cominiciato facendo alcune osservazioni.
So che
i) $ hat(phi) = phi $
e quindi
$ ||psi(n)||=||phi**phi**...**phi|| = ||hat(phi)**hat(phi)**...**hat(phi)|| $ .
ii) per Plancharell $ ||hat(phi)||=||phi|| $ se $ phi $ appartiene a L1(R) $ nn $ L2(R).
iii) $ int_(-oo )^(+oo) e^-(pix^2) dx = 1 $
Ho fatto vari tentativi ma non riesco a dimostrare nessuna delle 3 richieste.
Mi sapreste aiutare per favore?
Grazie!
Mi sono imbattuto in questo problema da cui non riesco a venire a capo.
Sia $ phi(x)= e^-(pix^2) $ e $ psi(n)= phi** phi**...**phi $ (n volte).
a) Mostrare che $ ||psi(n)|| = 1 $ in L1(R)
b) Mostrare che $ ||psi(n)|| rarr 0 $ in L2(R)
c) stabilire se $ psi(n) $ converge uniformemente (limitando l'attenzione per semplicità al caso in cui i numeri n siano potenze di 2)
(Suggerimento: usare le proprietà della trasformata di Fourier di $ psi(n) $ )
Ho cominiciato facendo alcune osservazioni.
So che
i) $ hat(phi) = phi $
e quindi
$ ||psi(n)||=||phi**phi**...**phi|| = ||hat(phi)**hat(phi)**...**hat(phi)|| $ .
ii) per Plancharell $ ||hat(phi)||=||phi|| $ se $ phi $ appartiene a L1(R) $ nn $ L2(R).
iii) $ int_(-oo )^(+oo) e^-(pix^2) dx = 1 $
Ho fatto vari tentativi ma non riesco a dimostrare nessuna delle 3 richieste.
Mi sapreste aiutare per favore?
Grazie!
Risposte
So Anche che
$ hat(f**g)= hat(f)*hat(g) $
$ hat(f**g)= hat(f)*hat(g) $
Ecco, appunto: se usi l'osservazione che fai in i) e questa formula, dovresti ottenere che $||\psi(n)||=||\varphi^n||$, non ti pare?
esatto, però poi quando svolgo l'integrale
$ int_(-oo)^(+oo) e^-(npix^2)dx $ = $ 1/sqrt(n) $
attraverso il cambio di variabile
$ t^2=nx^2 $
Forse sbaglio l'integrale?
Grazie per la risposta ciampax
$ int_(-oo)^(+oo) e^-(npix^2)dx $ = $ 1/sqrt(n) $
attraverso il cambio di variabile
$ t^2=nx^2 $
Forse sbaglio l'integrale?
Grazie per la risposta ciampax
Scusami, ma se $||\phi||=1$ il $L^1$, allora $||\phi^n||=||\phi||^n=1$$, non ti pare?
Ci avevo pensato ma l'equazione
$ ||phi^n||=||phi||^n $
non mi convince nel caso di $ phi $ .
e poi, com'è possibile che se lo calcolo con l'integrale mi viene un risultato diverso?
$ ||phi^n||=||phi||^n $
non mi convince nel caso di $ phi $ .
e poi, com'è possibile che se lo calcolo con l'integrale mi viene un risultato diverso?
Sì, scusa, mi sono accorto dopo che stavo pensando ad un'altra cosa. Dunque, per prima cosa chiariamo un fatto: nelle richieste dell'esercizio al punto 1) devi calcolare la norma $L^1$, al punto due la norma $L^2$. Ora, Plancherel afferma che $||\hat{f}||_2=||f||_2$, cioè l'identità vale per la norma $L^2$, non $L^1$. Vediamo cosa sappiamo:
i) $||\phi||_1=1,\qquad ||\phi||_2=1/\sqrt{2}$
ii) $\hat{\phi}(\xi)=\phi(\xi)$ per cui mi sembra di capire che tu usi questa definizione di trasformata: $\hat{f}(\xi)=\int_{-\infty}^{+\infty} f(x) e^{-2\sqrt{\pi}\ i x \xi}\ dx$, o sbaglio? (E' l'unica che mi restituisce la trasformata esattamente identica, altrimenti ad esponente appaiono delle costanti). Inoltre
$$\widehat{\psi(n)}(\xi)=\widehat{\varphi\star\ldots\star\varphi}(\xi)=\hat{\varphi}(\xi)^n=\varphi(\xi)^n$$
Se è così, effettivamente la norma $L^1$ non può essere 1, per cui mi sa che la relazione tra $\phi$ e la sua trasformata sia diversa (ovvero, appaia la famosa costante).
i) $||\phi||_1=1,\qquad ||\phi||_2=1/\sqrt{2}$
ii) $\hat{\phi}(\xi)=\phi(\xi)$ per cui mi sembra di capire che tu usi questa definizione di trasformata: $\hat{f}(\xi)=\int_{-\infty}^{+\infty} f(x) e^{-2\sqrt{\pi}\ i x \xi}\ dx$, o sbaglio? (E' l'unica che mi restituisce la trasformata esattamente identica, altrimenti ad esponente appaiono delle costanti). Inoltre
$$\widehat{\psi(n)}(\xi)=\widehat{\varphi\star\ldots\star\varphi}(\xi)=\hat{\varphi}(\xi)^n=\varphi(\xi)^n$$
Se è così, effettivamente la norma $L^1$ non può essere 1, per cui mi sa che la relazione tra $\phi$ e la sua trasformata sia diversa (ovvero, appaia la famosa costante).
Dunque, se i miei calcoli sono corretti
i) $ ||phi||_(L^2)^2=1/sqrt(2) $ .
ii) La definizione che uso di trasformata di fourier è:
$ hat(f)(omega)= int_(-oo)^(+oo) f(t)e^(-2pii omega t) dt $.
Sul "libro" utilizzato dal mio docente c'è la dimostrazione del fatto che la trasformata della gaussiana è la gaussiana stessa (identica). Mi fido, io non riesco a calcolarla.
iii) esatto
i) $ ||phi||_(L^2)^2=1/sqrt(2) $ .
ii) La definizione che uso di trasformata di fourier è:
$ hat(f)(omega)= int_(-oo)^(+oo) f(t)e^(-2pii omega t) dt $.
Sul "libro" utilizzato dal mio docente c'è la dimostrazione del fatto che la trasformata della gaussiana è la gaussiana stessa (identica). Mi fido, io non riesco a calcolarla.
iii) esatto
1) sì, m'ero scordato il quadrato.
2) allora, ti faccio vedere un metodo per calcolare la trasformata della gaussiana usando la definizione di trasformata che usi tu. Indichiamo con
$$F(\xi)=\int_{-\infty}^{+\infty} e^{-\pi t^2} e^{-2\pi i\xi t}\ dt$$
la trasformata della funzione $phi$. Osserva che derivando (almeno formalmente, non mi pongo al momento problemi di derivabilità sotto integrale, ma è una cosa che posso fare) rispetto a $\xi$ si ha
$$F'(\xi)=\int_{-\infty}^{+\infty} -2\pi i t e^{-\pi t^2} e^{-2\pi i\xi t}\ dt=i\int_{-\infty}^{+\infty} (2\pi t e^{-\pi t^2}) e^{-2i\pi\xi t}\ dt=$$
integrando per parti
$$=i\left[e^{\pi t^2} e^{-2i\pi\xi t}\right]_{-\infty}^{+\infty}-i\int_{-\infty}^{+\infty} e^{-\pi t^2} (-2i\pi\xi e^{-2i\pi\xi t})\ dt=$$
osservando che il primo termine ha valore zero, in quanto l'esponenziale reale ha limite zero per $t\to\pm\infty$
$$=-2\pi\xi\int_{-\infty}^{+\infty} e^{-\pi t^2} e^{-2i\pi\xi t}\ dt=-2\pi\xi\ F(\xi)$$
pertanto la trasformata soddisfa l'equazione differenziale
$$F'=-2\pi\xi\ F$$
la cui soluzione è
$$F(\xi)=C\ e^{-\pi \xi^2}$$
Per calcolare $C$, posto $\xi=0$ si ha
$$C=F(0)=\int_{-\infty}^{+\infty} e^{-\pi t^2}\ dt=1$$
Pertanto effettivamente abbiamo che $hat{\phi}=\phi$.
Detto questo: nel caso della norma $L^2$ si ha
$$||\psi(n)||^2_2=||\widehat{\psi(n)}||_2^2=||\varphi^n||_2^2=\int_{-\infty}^{+\infty} e^{-2n\pi x^2}\ dx=$$
con il cambio di variabile $t=\sqrt{2n} x$
$$=\frac{1}{\sqrt{2n}}\int_{-\infty}^{+\infty} e^{-\pi t^2}\ dt=\frac{1}{\sqrt{2n}}\rightarrow 0$$
per cui almeno sul secondo punto ci siamo.
2) allora, ti faccio vedere un metodo per calcolare la trasformata della gaussiana usando la definizione di trasformata che usi tu. Indichiamo con
$$F(\xi)=\int_{-\infty}^{+\infty} e^{-\pi t^2} e^{-2\pi i\xi t}\ dt$$
la trasformata della funzione $phi$. Osserva che derivando (almeno formalmente, non mi pongo al momento problemi di derivabilità sotto integrale, ma è una cosa che posso fare) rispetto a $\xi$ si ha
$$F'(\xi)=\int_{-\infty}^{+\infty} -2\pi i t e^{-\pi t^2} e^{-2\pi i\xi t}\ dt=i\int_{-\infty}^{+\infty} (2\pi t e^{-\pi t^2}) e^{-2i\pi\xi t}\ dt=$$
integrando per parti
$$=i\left[e^{\pi t^2} e^{-2i\pi\xi t}\right]_{-\infty}^{+\infty}-i\int_{-\infty}^{+\infty} e^{-\pi t^2} (-2i\pi\xi e^{-2i\pi\xi t})\ dt=$$
osservando che il primo termine ha valore zero, in quanto l'esponenziale reale ha limite zero per $t\to\pm\infty$
$$=-2\pi\xi\int_{-\infty}^{+\infty} e^{-\pi t^2} e^{-2i\pi\xi t}\ dt=-2\pi\xi\ F(\xi)$$
pertanto la trasformata soddisfa l'equazione differenziale
$$F'=-2\pi\xi\ F$$
la cui soluzione è
$$F(\xi)=C\ e^{-\pi \xi^2}$$
Per calcolare $C$, posto $\xi=0$ si ha
$$C=F(0)=\int_{-\infty}^{+\infty} e^{-\pi t^2}\ dt=1$$
Pertanto effettivamente abbiamo che $hat{\phi}=\phi$.
Detto questo: nel caso della norma $L^2$ si ha
$$||\psi(n)||^2_2=||\widehat{\psi(n)}||_2^2=||\varphi^n||_2^2=\int_{-\infty}^{+\infty} e^{-2n\pi x^2}\ dx=$$
con il cambio di variabile $t=\sqrt{2n} x$
$$=\frac{1}{\sqrt{2n}}\int_{-\infty}^{+\infty} e^{-\pi t^2}\ dt=\frac{1}{\sqrt{2n}}\rightarrow 0$$
per cui almeno sul secondo punto ci siamo.
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