Convoluzione continua del segnale in ingresso con l'impulso come segnale d'uscita

[andy4649]

Sul libro scrive che

$y(t)=r[x(t)]$

(ossia il segnale in uscita rispetto a un sistema è la risposta al segnale in ingresso) e dato che un segnale x(t) si può riscrivere come

$x(t)=int_(-infty)^(infty)x(tau)delta(t-tau)d(tau)$

(e fin qui ci siamo) allora

$y(t)=r[int_(-infty)^(infty)x(tau)delta(t-tau)d(tau)]$

ma non capisco perchè ciò sia uguale a

$r[int_(-infty)^(infty)x(tau)delta(t-tau)d(tau)]=int_(-infty)^(infty)x(tau)r[delta(t-tau)]d(tau)$.

Sapreste spiegarmi ciò che fa in questo passaggio?

[dissonance]

Sta applicando la linearità dell'operatore \(r\). Fai finta che \(\int_{-\infty}^\infty x(\tau)\delta(t-\tau)\, d\tau\) sia una somma finita. In quel caso il passaggio dovrebbe risultarti ovvio. ( Ci sarebbero da fare delle puntualizzazioni matematiche sul fatto che un integrale non è una somma finita ma un limite di somme finite, e quindi bisogna dimostrare che l'identità passa al limite, ma queste cose puoi lasciarle ai matematici, se vuoi).

[andy4649]

Non voglio lasciarle ai matematici, queste cose.

$r[int_(-infty)^(infty)x(tau)delta(t-tau)d tau]=r[lim_(n->infty)[sum_(k=1)^(n)[m_kDeltatau]]]$

$m_k$ è il minimo della funzione in ciascuno degli n intervallini di ampiezza $Deltat$. Questa definizione di integrale è quella secondo Cauchy.
Poi, per la definizione di sommatoria con termine superiore infinito,

$r[lim_(n->infty)[sum_(k=1)^(n)[m_kDeltatau]]] = r[sum_(tauinR_(>=1))^(infty)[x(tau)delta(t-tau)d tau]]]$

E qui mi devi dire se la precedente uguaglianza è giusta. Io ho supposto che se $n->infty$ allora $m_k$ diventa la funzione in ogni $tau$, quindi $f(tau)=x(tau)delta(t-tau)$, dato che l'intervallo considerato è infinitesimo, e quindi il minimo nell'intervallo è uguale alla funzione (costante in un intervallo infinitesimo). Contemporaneamente, $Deltatau$ diventa $d tau$, ossia un incremento infinitesimo di $tau$.
A questo punto, per la linearità di r, ora che abbiamo chiaramente una somma,

$ r[sum_(tauinR_(>=1))^(infty)[x(tau)delta(t-tau)d tau]]] = sum_(tauinR_(>=1))^(infty)r[x(tau)delta(t-tau)d tau]$

e dato che per ogni addendo di questa somma "densa" (non so se come strumento matematico ha senso ma logicamente penso che ne abbia), $x(tau)$ è una costante, quindi un coefficiente, e anche $d tau$ è una costante, quindi per la linearità di r

$ sum_(tauinR_(>=1))^(infty)r[x(tau)delta(t-tau)d tau] = sum_(tauinR_(>=1))^(infty)x(tau)r[delta(t-tau)]d tau $

E logicamente ciò che sta scritto a destra non è altro che la somma di tutte le aree degli intervalli infinitesimi a partire da $tau=1$ (compreso), quindi l'integrale definito da 1 a $infty$:

$ sum_(tauinR_(>=1))^(infty)x(tau)r[delta(t-tau)]d tau = int_(1)^(infty) x(tau)r[delta(t-tau)]d tau = r[int_(-infty)^(infty)x(tau)delta(t-tau)d tau]$ c.v.d.

Allora il c.v.d. è un mio sfogo personale anche sapendo che probabilmente mi sono inventato degli strumenti e non ho dimostrato un bel niente . Comunque ti chiedo se il ragionamento fila a livello logico, e se non fila, se mi puoi dare un ragionamento corretto per arrivare a quella conclusione.

[dissonance]

L'idea è correttissima, ma ci sarebbero un bel po' di dettagli matematici da aggiustare. In primis, la \(\delta(t)\) non è una vera funzione, ma una funzione generalizzata. In secundis, qui:

A questo punto, per la linearità di r, ora che abbiamo chiaramente una somma,

Qui purtroppo non è così semplice. Tu sai che \(r\) è lineare, e che quindi commuta con le somme finite, ma per sapere che esso commuta con le somme infinite dovresti dimostrare che è continuo. Ma continuo in che senso? Altri dettagli matematici a iosa.

Io però suggerisco di lasciare perdere per il momento. L'importante è avere una idea chiara a livello formale. Dopo, se vuoi, potrai ritornare sulla questione con un libro di matematica per vedere come si rendono rigorosi questi ragionamenti formali.