Convoluzione
Per $x in [0,2pi]$ si ponga $G(x) = 1/pi cos(x)$,e si consideri l'operatore $T$ che agisce in $L^2([0,2pi])$
secondo,
$(Tf)(x) = int_0^(2pi) text{d} x^{\prime} G(x-x^{\prime})f(x^{\prime}).$
Si mostri che $T$ è un proiettore ortogonale.
Guardando il problema sembrerebbe una convoluzione,ma per calcolarne una servono due funzioni.
Qui abbiamo solo una funzione $G(x)$.
Il problema parla di proiettore ortogonale,dunque penso che si debba eseguire un prodotto scalare che dia zero,ma per eseguirlo ci vogliono due funzioni.
Qualcuno può dirmi qual'è la funzione $f(x^{\prime})$.
Saluti.
secondo,
$(Tf)(x) = int_0^(2pi) text{d} x^{\prime} G(x-x^{\prime})f(x^{\prime}).$
Si mostri che $T$ è un proiettore ortogonale.
Guardando il problema sembrerebbe una convoluzione,ma per calcolarne una servono due funzioni.
Qui abbiamo solo una funzione $G(x)$.
Il problema parla di proiettore ortogonale,dunque penso che si debba eseguire un prodotto scalare che dia zero,ma per eseguirlo ci vogliono due funzioni.
Qualcuno può dirmi qual'è la funzione $f(x^{\prime})$.
Saluti.
Risposte
\(f\) è l'argomento dell'operatore \(T\), quindi è una variabile indipendente e non una funzione in particolare.
Si,comunque non mi è chiaro il procedimento per risolvere il peroblema.
Devi usare le formule di addizione per il coseno. Ma se non hai chiaro il concetto di "operatore" non penso che andrai lontano. Meglio riguardare prima la teoria: ti bastano le definizioni di "operatore" e di "proiettore ortogonale".
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