Convoluzione
Ciao a tutti,
sto seguendo un corso di elaborazione numerica dei segnali e per trattare il campionamento dei segnali periodici è stata introdotta la funzione (o distribuzione) [tex]g(t)=\sum_{k=-\infty}^{\infty}\delta (t-kT_s)[/tex]
Il segnale da campionare sia [tex]s(t)[/tex]. Si fa il prodotto tra le due funzioni e si trova [tex]p(t)=s(t) \cdot g(t)[/tex]. Poi si trasforma con la trasformata di Fourier ottenendo la convoluzione tra le due trasformate
[tex]P(j\Omega)=S(j\Omega) \ast G(j\Omega)[/tex] dove [tex]\ast[/tex] sta per 'convoluto con'.
[tex]G(j\Omega)=\sum_{k=-\infty}^{\infty}\delta(j\Omega-\frac{jk2\pi}{T_s})[/tex] dove [tex]T_s[/tex] è l'intervallo di campionamento.
Il mio problema è che non so come fare questa convoluzione e non capisco come è fatta [tex]P(j\Omega)[/tex].
Grazie mille
sto seguendo un corso di elaborazione numerica dei segnali e per trattare il campionamento dei segnali periodici è stata introdotta la funzione (o distribuzione) [tex]g(t)=\sum_{k=-\infty}^{\infty}\delta (t-kT_s)[/tex]
Il segnale da campionare sia [tex]s(t)[/tex]. Si fa il prodotto tra le due funzioni e si trova [tex]p(t)=s(t) \cdot g(t)[/tex]. Poi si trasforma con la trasformata di Fourier ottenendo la convoluzione tra le due trasformate
[tex]P(j\Omega)=S(j\Omega) \ast G(j\Omega)[/tex] dove [tex]\ast[/tex] sta per 'convoluto con'.
[tex]G(j\Omega)=\sum_{k=-\infty}^{\infty}\delta(j\Omega-\frac{jk2\pi}{T_s})[/tex] dove [tex]T_s[/tex] è l'intervallo di campionamento.
Il mio problema è che non so come fare questa convoluzione e non capisco come è fatta [tex]P(j\Omega)[/tex].
Grazie mille
Risposte
è semplice, la convoluzione con delle delta di dirac traslate comporta una traslazione di ciò che stai convolvendo con essa. In questo caso si tratta dello spettro del segnale $s(t)$, dunque avrai una ripetizione di questo spettro ogni $2\pi/T_s$. Da questo fatto poi discendo anche tutte le considerazioni circa la possibilità di ricostruire il segnale a partire da una sua versione campionata, dunque il teorema del campionamento, e la questione relativa ai fenomeni di aliasing, che risulta essere una sovrapposizione tra due repliche dello spettro del segnale originale.
Scusa, ma [tex]$G$[/tex] non mi pare la trasformata di Fourier di [tex]$g$[/tex]...
Infatti, che io ricordi, in ambito distribuzionale si ha:
[tex]$\mathcal{F} [\delta (t-kT_s)](\Omega) =e^{-kT_s \jmath \Omega} \mathcal{F}[\delta(t)]=e^{-kT_s \jmath \Omega}$[/tex] (per la proprietà di traslazione)
per ogni [tex]$k\in \mathbb{Z}$[/tex], quindi [tex]$G$[/tex] dovrebbe essere una somma di esponenziali complessi e non una somma di impulsi.
Infatti, che io ricordi, in ambito distribuzionale si ha:
[tex]$\mathcal{F} [\delta (t-kT_s)](\Omega) =e^{-kT_s \jmath \Omega} \mathcal{F}[\delta(t)]=e^{-kT_s \jmath \Omega}$[/tex] (per la proprietà di traslazione)
per ogni [tex]$k\in \mathbb{Z}$[/tex], quindi [tex]$G$[/tex] dovrebbe essere una somma di esponenziali complessi e non una somma di impulsi.
ok grazie mille,
sapresti per caso darmi qualche testo di riferimento che esponga una trattazione analitica di queste cose ?
sapresti per caso darmi qualche testo di riferimento che esponga una trattazione analitica di queste cose ?
Scusa gugo82 se ho scritto qualcosa di sbagliato, ma le distribuzioni non le ho studiate e non ho trovato dei testi di elaborazione numerica che sviluppassero queste cose.
"gugo82":
Scusa, ma [tex]$G$[/tex] non mi pare la trasformata di Fourier di [tex]$g$[/tex]...
Infatti, che io ricordi, in ambito distribuzionale si ha:
[tex]$\mathcal{F} [\delta (t-kT_s)](\Omega) =e^{-kT_s \jmath \Omega} \mathcal{F}[\delta(t)]=e^{-kT_s \jmath \Omega}$[/tex] (per la proprietà di traslazione)
per ogni [tex]$k\in \mathbb{Z}$[/tex], quindi [tex]$G$[/tex] dovrebbe essere una somma di esponenziali complessi e non una somma di impulsi.
Si può dimostrare che quella somma di esponenziali è una somma di delta di dirac traslate.
"Ska":
[quote="gugo82"]Scusa, ma [tex]$G$[/tex] non mi pare la trasformata di Fourier di [tex]$g$[/tex]...
Infatti, che io ricordi, [...] [tex]$G$[/tex] dovrebbe essere una somma di esponenziali complessi e non una somma di impulsi.
Si può dimostrare che quella somma di esponenziali è una somma di delta di dirac traslate.[/quote]
Mmm... Un riferimento bibliografico, please?
*** EDIT: Trovato; si chiama formula di Poisson e l'avevo del tutto rimossa.
Per dimostrarlo io risolvevo un'equazione in ambito distribuzionale...
Con la definizione di trasformata di fourier [tex]\hat u(\xi) = \displaystyle\int_{\mathbb{R}} u(x) e^{-\imath \xi x} dx[/tex], allora
[tex]u(x) = \displaystyle\sum_{k=-\infty}^{\infty} \delta(x - kT)[/tex]
[tex]<\hat u, v> = = \displaystyle\sum_{k=-\infty}^{\infty} \hat v(\xi - kT) = < \displaystyle\sum_{k=-\infty}^{\infty} e^{-\imath \xi kT}, v>[/tex]
A questo punto [tex]\hat u(\xi) = \displaystyle\sum_{k=-\infty}^{\infty} e^{-\imath \xi kT}[/tex]
[tex]\hat u[/tex] è periodica di periodo [tex]\dfrac{2\pi}{T}[/tex], inoltre [tex]\displaystyle\sum_{k=-\infty}^{\infty} e^{-\imath \xi kT} = e^{-\imath \xi T}\displaystyle\sum_{k=-\infty}^{\infty} e^{-\imath \xi kT}[/tex] da cui [tex](e^{-\imath \xi T} - 1) \hat u(\xi) = 0[/tex]
Quindi risolvendo in ambito distribuzionale l'equazione si ottiene
[tex]\hat u(\xi) = \displaystyle\sum_{k=-\infty}^{\infty} c_k \delta(\xi - k\frac{2\pi}{T}) = C \displaystyle\sum_{k=-\infty}^{\infty} \delta(\xi - k\frac{2\pi}{T})[/tex]
Per trovare infine il valore della costante moltiplicativa, si utilizza una trasformata nota.
[tex]1 = \chi_{[-T/2,T/2]} (x) \star u(x)[/tex] da cui [tex]2\pi \delta(\xi) = 2\dfrac{\sin(\xi \frac{T}{2})}{\xi} C\displaystyle\sum_{k=-\infty}^{\infty} \delta(\xi - k\frac{2\pi}{T}) = C T \delta(\xi)[/tex] da cui [tex]C = \dfrac{2\pi}{T}[/tex]
Saresti così gentile da spiegarmi la formula di Poisson? Questa l'ho già vista ma non ho mai capito come applicarla per dimostrare questa trasformata...
Grazie
Con la definizione di trasformata di fourier [tex]\hat u(\xi) = \displaystyle\int_{\mathbb{R}} u(x) e^{-\imath \xi x} dx[/tex], allora
[tex]u(x) = \displaystyle\sum_{k=-\infty}^{\infty} \delta(x - kT)[/tex]
[tex]<\hat u, v> =
A questo punto [tex]\hat u(\xi) = \displaystyle\sum_{k=-\infty}^{\infty} e^{-\imath \xi kT}[/tex]
[tex]\hat u[/tex] è periodica di periodo [tex]\dfrac{2\pi}{T}[/tex], inoltre [tex]\displaystyle\sum_{k=-\infty}^{\infty} e^{-\imath \xi kT} = e^{-\imath \xi T}\displaystyle\sum_{k=-\infty}^{\infty} e^{-\imath \xi kT}[/tex] da cui [tex](e^{-\imath \xi T} - 1) \hat u(\xi) = 0[/tex]
Quindi risolvendo in ambito distribuzionale l'equazione si ottiene
[tex]\hat u(\xi) = \displaystyle\sum_{k=-\infty}^{\infty} c_k \delta(\xi - k\frac{2\pi}{T}) = C \displaystyle\sum_{k=-\infty}^{\infty} \delta(\xi - k\frac{2\pi}{T})[/tex]
Per trovare infine il valore della costante moltiplicativa, si utilizza una trasformata nota.
[tex]1 = \chi_{[-T/2,T/2]} (x) \star u(x)[/tex] da cui [tex]2\pi \delta(\xi) = 2\dfrac{\sin(\xi \frac{T}{2})}{\xi} C\displaystyle\sum_{k=-\infty}^{\infty} \delta(\xi - k\frac{2\pi}{T}) = C T \delta(\xi)[/tex] da cui [tex]C = \dfrac{2\pi}{T}[/tex]
Saresti così gentile da spiegarmi la formula di Poisson? Questa l'ho già vista ma non ho mai capito come applicarla per dimostrare questa trasformata...
Grazie
La formula di Poisson è:
[tex]$T \sum_{k=-\infty}^{+\infty} \delta (t-kT) =\sum_{k=-\infty}^{+\infty} e^{\jmath k\omega_0 t}$[/tex],
in cui [tex]$T>0$[/tex] e [tex]$\omega_0=\frac{2\pi}{T}$[/tex], e si può ricavare dallo sviluppo in serie di Fourier del "dente di sega".
La dimostrazione di questo fatto richiede di conoscere un minimo di teoria delle distribuzioni: in particolare serve sapere che se [tex]$x(t)$[/tex] è [tex]$C^1$[/tex] a tratti in [tex]$\mathbb{R}$[/tex] essa è (ovviamente) derivabile nel senso delle distribuzioni e si ha:
[tex]$Dx(t)=x^\prime (t) +\sum_k \text{s} (u;t_k)\ \delta (t-t_k)$[/tex],
ove: [tex]$Dx$[/tex] è la derivata distribuzionale, [tex]$x^\prime$[/tex] è la derivata classica, la somma [tex]$\sum_k$[/tex] è estesa a tutti i punti di discontinuità [tex]$t_k$[/tex] di [tex]$x$[/tex] (che sono al più un insieme numerabile che si accumula all'infinito) ed [tex]$\text{s} (x;t_k) =x(t_k^+)-x(t_k^-)$[/tex] [tex]$=\lim_{t\to t_k^+} x(t) -\lim_{t\to t_k^-} x(t)$[/tex] è il salto di discontinuità di [tex]$x$[/tex] in [tex]$t_k$[/tex].
Detto ciò, consideriamo la funzione a "dente di sega" [tex]$x(t)$[/tex] che si ottiene come prolungamento periodico di periodo [tex]$T$[/tex] della funzione:
[tex]$x_0:[0,T[ \ni t \mapsto t \in \mathbb{R}$[/tex]
il cui grafico è quello qui sotto (nel caso [tex]$T=2$[/tex]; il pallino indica che il valore è assunto):
[asvg]axes("labels","gird");
plot("x",0,2);
plot("x-2",2,4);
plot("x-4",4,6);
plot("x+2",-2,0);
plot("x+4",-4,-2);
plot("x+6",-6,-4);
dot([0,0]);
dot([2,0]);
dot([4,0]);
dot([-2,0]);
dot([-4,0]);[/asvg]
La funzione [tex]$x$[/tex] è sicuramente derivabile nel senso distribuzionale e risulta:
[tex]$Dx(t) =1+\sum_{k=-\infty}^{+\infty} (-T) \delta (t-kT) =1-T\sum_{k=-\infty}^{+\infty} \delta (t-kT)$[/tex].
D'altra parte la [tex]$x$[/tex] è sviluppabile in serie complessa di Fourier nel senso di [tex]$L_{\text{per}}^2$[/tex] e, con un po' di conti, si vede che:
[tex]$x(t) =\frac{T}{2} +\sum_{k\in \mathbb{Z} \setminus \{ 0\}} \frac{\jmath}{k\omega_0} \ e^{\jmath k\omega_0 t}$[/tex];
derivando nel senso delle distribuzioni si trova:
[tex]$Dx(t) =-\sum_{k\in \mathbb{Z} \setminus \{ 0\}} e^{\jmath k\omega_0 t}$[/tex].
Uguagliando le due espressioni delle derivate distribuzionali si trova:
[tex]$T\sum_{k=-\infty}^{+\infty} \delta (t-kT) =1+\sum_{k\in \mathbb{Z} \setminus \{ 0\}} e^{\jmath k\omega_0 t} =\sum_{k=-\infty}^{+\infty} e^{\jmath k\omega_0 t}$[/tex]
che è la formula di Poisson.
[tex]$T \sum_{k=-\infty}^{+\infty} \delta (t-kT) =\sum_{k=-\infty}^{+\infty} e^{\jmath k\omega_0 t}$[/tex],
in cui [tex]$T>0$[/tex] e [tex]$\omega_0=\frac{2\pi}{T}$[/tex], e si può ricavare dallo sviluppo in serie di Fourier del "dente di sega".
La dimostrazione di questo fatto richiede di conoscere un minimo di teoria delle distribuzioni: in particolare serve sapere che se [tex]$x(t)$[/tex] è [tex]$C^1$[/tex] a tratti in [tex]$\mathbb{R}$[/tex] essa è (ovviamente) derivabile nel senso delle distribuzioni e si ha:
[tex]$Dx(t)=x^\prime (t) +\sum_k \text{s} (u;t_k)\ \delta (t-t_k)$[/tex],
ove: [tex]$Dx$[/tex] è la derivata distribuzionale, [tex]$x^\prime$[/tex] è la derivata classica, la somma [tex]$\sum_k$[/tex] è estesa a tutti i punti di discontinuità [tex]$t_k$[/tex] di [tex]$x$[/tex] (che sono al più un insieme numerabile che si accumula all'infinito) ed [tex]$\text{s} (x;t_k) =x(t_k^+)-x(t_k^-)$[/tex] [tex]$=\lim_{t\to t_k^+} x(t) -\lim_{t\to t_k^-} x(t)$[/tex] è il salto di discontinuità di [tex]$x$[/tex] in [tex]$t_k$[/tex].
Detto ciò, consideriamo la funzione a "dente di sega" [tex]$x(t)$[/tex] che si ottiene come prolungamento periodico di periodo [tex]$T$[/tex] della funzione:
[tex]$x_0:[0,T[ \ni t \mapsto t \in \mathbb{R}$[/tex]
il cui grafico è quello qui sotto (nel caso [tex]$T=2$[/tex]; il pallino indica che il valore è assunto):
[asvg]axes("labels","gird");
plot("x",0,2);
plot("x-2",2,4);
plot("x-4",4,6);
plot("x+2",-2,0);
plot("x+4",-4,-2);
plot("x+6",-6,-4);
dot([0,0]);
dot([2,0]);
dot([4,0]);
dot([-2,0]);
dot([-4,0]);[/asvg]
La funzione [tex]$x$[/tex] è sicuramente derivabile nel senso distribuzionale e risulta:
[tex]$Dx(t) =1+\sum_{k=-\infty}^{+\infty} (-T) \delta (t-kT) =1-T\sum_{k=-\infty}^{+\infty} \delta (t-kT)$[/tex].
D'altra parte la [tex]$x$[/tex] è sviluppabile in serie complessa di Fourier nel senso di [tex]$L_{\text{per}}^2$[/tex] e, con un po' di conti, si vede che:
[tex]$x(t) =\frac{T}{2} +\sum_{k\in \mathbb{Z} \setminus \{ 0\}} \frac{\jmath}{k\omega_0} \ e^{\jmath k\omega_0 t}$[/tex];
derivando nel senso delle distribuzioni si trova:
[tex]$Dx(t) =-\sum_{k\in \mathbb{Z} \setminus \{ 0\}} e^{\jmath k\omega_0 t}$[/tex].
Uguagliando le due espressioni delle derivate distribuzionali si trova:
[tex]$T\sum_{k=-\infty}^{+\infty} \delta (t-kT) =1+\sum_{k\in \mathbb{Z} \setminus \{ 0\}} e^{\jmath k\omega_0 t} =\sum_{k=-\infty}^{+\infty} e^{\jmath k\omega_0 t}$[/tex]
che è la formula di Poisson.
Chiarissimo 
Grazie
Grazie
Un modo più veloce per giungere alla trasformata di Fourier del treno di impulsi, ottenendo anche la formula di Poisson così come l'hai espressa tu è quello di sfruttare il fatto che il treno di impulsi è periodico, quindi ammette una rappresentazione in serie di Fourier, e quindi trasformando la rappresentazione in SdF si ottiene il risultato.
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