Convoluzione

[kit79]

Ciao, non so bene fare questa convoluzione tra queste due funzioni:

$phi(x)=e^(-1/(1-x^2))$ per $|x|<1$ con $phi(x)=0$ per $|x|>1

e la funzione finestra che assume valore 1 tra $a<=x<=b$ e 0 in tutto il resto.

La convoluzione è definita dall'integrale $int_B f(y)*g(x-y)*dy$ con $B$ insieme di definizione per entrambe, quindi penso da a a b

Di solito non si prende $phi(x)$ ma una successione $phi_(n) (x)$.

Grazie.
Ciao.

[elgiovo]

Chiamo $f(x)=e^(-1/(1-x^2)) * chi_([-1,1])(x)$. E' necessario distinguere due casi: chiamo $s=|b-a|$ la lunghezza del supporto della finestra $chi_([a,b])(x)=g(x)$. Inoltre chiamo $h(x)$ la funzione $g(x)$ traslata in modo da risultare simmetrica rispetto all'asse $y$.

1) $|b-a|=s >2$

$(f ** h)(x)=int_(-oo)^(oo) f(y)*h(x-y) "d"y={(0, x<-1),(int_(-1)^x f(xi)"d"xi,-1<=x=s+1):}$

2) $|b-a|=s<2$

$(f ** h)(x)=int_(-oo)^(oo) f(y)*h(x-y) "d"y={(0, x<-1),(int_(-1)^x f(xi)"d"xi,-1<=x=s+1):}$

Ora $(f ** g)(x)$ è la $(f**h)(x)$ traslata in modo da risultare simmetrica rispetto all'asse di $[a,b]$.
Le successioni $phi_n$ di cui parli si chiamano "successioni regolarizzanti" o "mollificatori", e si usano per la loro proprietà di convergenza $phi_n ** u to u$ per $n to oo$, sotto alcune ipotesi, che variano a seconda dello spazio funzionale nel quale ti trovi.