Convoluzione
Ciao a tutti!
Devo risolvere la seguente convoluzione tra $x(t)=pi(t)$ e y(t)=tr(t). Fin quando "blocco" l'impulso triangolare e faccio scorrere l'impulso triangolare $pi$ mi trovo.
Solo che non mi trovo più a parti invertite! Teoricamente dovrebbe uscire lo stesso grafico ma mi trovo una cosa completamente diversa.
Io ho ottenuto:
1) per $t<-3/2$ ho $x(tau)=0$
2) per $t>-3/2$ e $t<1/2$ ho $x(tau)=-z^2-z/2+3/2$
3) per $t<-1/2$ e $t<1/2$ ho $x(tau)=2-z^2$
4) per $t>-1/2$ e $t<3/2$ ho $x(tau)=-z^2+z/2+3/2$
5) per $t<3/2$ ho $x(tau)=0$
I pezzetti che mi trovo sono giusti?
GRAZIE!
Devo risolvere la seguente convoluzione tra $x(t)=pi(t)$ e y(t)=tr(t). Fin quando "blocco" l'impulso triangolare e faccio scorrere l'impulso triangolare $pi$ mi trovo.
Solo che non mi trovo più a parti invertite! Teoricamente dovrebbe uscire lo stesso grafico ma mi trovo una cosa completamente diversa.
Io ho ottenuto:
1) per $t<-3/2$ ho $x(tau)=0$
2) per $t>-3/2$ e $t<1/2$ ho $x(tau)=-z^2-z/2+3/2$
3) per $t<-1/2$ e $t<1/2$ ho $x(tau)=2-z^2$
4) per $t>-1/2$ e $t<3/2$ ho $x(tau)=-z^2+z/2+3/2$
5) per $t<3/2$ ho $x(tau)=0$
I pezzetti che mi trovo sono giusti?
GRAZIE!
Risposte
Il risultato corretto è
$x**y(t)={(1/4(3-4t^2), -1/2<=t<=1/2),(1/8(9-12t+4t^2), 1/2<=t<=3/2),(1/8(9+12t+4t^2), -3/2<=t<=-1/2):}$
$x**y(t)={(1/4(3-4t^2), -1/2<=t<=1/2),(1/8(9-12t+4t^2), 1/2<=t<=3/2),(1/8(9+12t+4t^2), -3/2<=t<=-1/2):}$
"luca.barletta":
Il risultato corretto è
$x**y(t)={(1/4(3-4t^2), -1/2<=t<=1/2),(1/8(9-12t+4t^2), 1/2<=t<=3/2),(1/8(9+12t+4t^2), -3/2<=t<=-1/2):}$
Ti ringrazio per la risposta, sei sempre molto gentile, mi spiace tormentarti con i miei "stupidi" problemi certe volte.
A questo risultato arrivo spostando l'impulso rettangolare...quindi anche spostando l'impulso triangolare dovrei ottenere le stesse identiche relazioni? Ovviamente sì, la convoluzione gode della proprietà commutativa!
Io non mi trovo con gli estremi...ora ti spiego come mi hanno insegnato a prenderli, considerando l'impulso $pi(t)$ fisso e muovendo $tr(t)$. Ribalto e traslo quest'ultimo di un fattore $tau$.
A questo punto l'estremo del triangolo $tau+1$ deve essere minore $-1/2$ (ovvero il primo estremo del rettangolo) e quindi $tau< -3/2$ e la funzione $x(tau)=0$
secondo caso deve essere $tau+1 > -1/2$ perché incomincio a superare il rettangolo ma c'è una parte del triangolo che resta ancora fuori ovvere $tau-1 < -1/2$ e quindi sarà $tau> -3/2$ e $tau<1/2$ e già quì mi viene una cosa strana, l'integrale sarà invece:
$x(tau)=int_{-1/2}^{tau+1} 1*(1-tau)dt = -(tau)^2-tau/2+3/2
dove $1-tau$ rappresenta il pezzetto dell'impulso triangolare che scende visto come è definito l'impulso trinagolare...(forse è qui che sbaglio)
penso che sia inutile contunuare a dire come ho risolto, forse si capisce già qual è l'errore che commetto (che io non riesco a capire), però questo errore non lo commetto se muovo il rettangolo e lascio fermo il triangolo perché?
GRAZIE!
fino al primo punto va bene, poi
sì, qui si comincia a vedere qualcosa che non va.
Innanzitutto diciamo che, data la simmetria dei segnali, è sufficiente calcolare la convoluzione per $tau<0$ (quello che tu chiami $tau$, non confondere con il mio post precedente). Quindi rimane da considerare il caso in cui $-1/2
"Ahi":
secondo caso deve essere $tau+1 > -1/2$ perché incomincio a superare il rettangolo ma c'è una parte del triangolo che resta ancora fuori ovvere $tau-1 < -1/2$ e quindi sarà $tau> -3/2$ e $tau<1/2$ e già quì mi viene una cosa strana, l'integrale sarà invece:
$x(tau)=int_{-1/2}^{tau+1} 1*(1-tau)dt = -(tau)^2-tau/2+3/2
dove $1-tau$ rappresenta il pezzetto dell'impulso triangolare che scende visto come è definito l'impulso trinagolare...(forse è qui che sbaglio)
sì, qui si comincia a vedere qualcosa che non va.
Innanzitutto diciamo che, data la simmetria dei segnali, è sufficiente calcolare la convoluzione per $tau<0$ (quello che tu chiami $tau$, non confondere con il mio post precedente). Quindi rimane da considerare il caso in cui $-1/2
"luca.barletta":
fino al primo punto va bene, poi
[quote="Ahi"]
secondo caso deve essere $tau+1 > -1/2$ perché incomincio a superare il rettangolo ma c'è una parte del triangolo che resta ancora fuori ovvere $tau-1 < -1/2$ e quindi sarà $tau> -3/2$ e $tau<1/2$ e già quì mi viene una cosa strana, l'integrale sarà invece:
$x(tau)=int_{-1/2}^{tau+1} 1*(1-tau)dt = -(tau)^2-tau/2+3/2
dove $1-tau$ rappresenta il pezzetto dell'impulso triangolare che scende visto come è definito l'impulso trinagolare...(forse è qui che sbaglio)
sì, qui si comincia a vedere qualcosa che non va.
Innanzitutto diciamo che, data la simmetria dei segnali, è sufficiente calcolare la convoluzione per $tau<0$ (quello che tu chiami $tau$, non confondere con il mio post precedente). Quindi rimane da considerare il caso in cui $-1/2
Scusa però non mi trovo se devo risolvere quell'integrale mi viene
$(-tau^2)/2+tau/2+7/8$
teoricamente non mi trovo...l'altro integrale dovevrebbe essere,
$int_(tau-1)^(tau) (1+(tau-t))dt+int_(tau)^(1/2) (1-(tau-t))dt= -(tau^2)/2-tau/2+15/8$
giusto?
PS: c'è qualche tipo di appunti che posso facilmente reperire dove permette di studiarmi la convoluzione per bene? Io fino a poco tempo fa ho studiato su alcuni libri e pensavo di averla capita...poi mi so inventato queste esercizio e tutti i miei problemi sono venuti disgraziatamente a galle!
GRAZIE!
"luca.barletta":
$int_(-1/2)^(tau) (1-(tau-t))dt+int_(tau)^(tau+1) (1+(tau-t))dt$
la versione corretta è
$int_(-1/2)^(tau) (1-(tau-t))dt+int_(tau)^(1/2) (1+(tau-t))dt$
infatti il rettangolo limita l'estremo superiore del secondo integrale a 1/2
"luca.barletta":[/quote]
[quote="luca.barletta"]
la versione corretta è
$int_(-1/2)^(tau) (1-(tau-t))dt+int_(tau)^(1/2) (1+(tau-t))dt$
infatti il rettangolo limita l'estremo superiore del secondo integrale a 1/2
Risolvendo l'integrale viene $3/4-tau^2$, però manca ancora un pezzo vero? Però se non ho capito male, mi sembra che tu abbia considerato il caso compreso tra $-1/2$ e $1/2$
"Ahi":
Risolvendo l'integrale viene $3/4-tau^2$, però manca ancora un pezzo vero? Però se non ho capito male, mi sembra che tu abbia considerato il caso compreso tra $-1/2$ e $1/2$
c'è tutto: ti avevo già detto che il pezzo da -3/2 a -1/2 andava bene, io ho fatto quello da -1/2 a 0. Dopodiché sappiamo che il risultato deve essere un segnale con una simmetria pari, quindi abbiam finito.
Sì, scusa, non è stata una bella idea risponderti all'una di notte che ho fatto un po' troppa confusione! Già ne faccio tanta di giorno! 
Comunque si alla fine gli integrali sono:
1) $int_{-1/2}^{tau+1} (1+tau-t)dt=(tau^2)/2+3/2tau+9/8$ questo per $-3/2<=tau<=-1/2$
2) $int_{-1/2}^{tau} (1-(tau-t))dt+int_{tau}^{+1/2} (1+(tau-t))dt=3/4-tau^2$ questo per $-1/2<=tau<=-1/2$
3) $int_{tau-1}^{1/2} (1-(tau-t))dt=(tau^2)/2-3/2tau+9/8$ questo per $1/2<=tau<=3/2$
e ovviamente per $t<-3/2$ e per $t>3/2$ è zero.
GRAZIE per il tuo preziosissimo aiuto.
Comunque si alla fine gli integrali sono:1) $int_{-1/2}^{tau+1} (1+tau-t)dt=(tau^2)/2+3/2tau+9/8$ questo per $-3/2<=tau<=-1/2$
2) $int_{-1/2}^{tau} (1-(tau-t))dt+int_{tau}^{+1/2} (1+(tau-t))dt=3/4-tau^2$ questo per $-1/2<=tau<=-1/2$
3) $int_{tau-1}^{1/2} (1-(tau-t))dt=(tau^2)/2-3/2tau+9/8$ questo per $1/2<=tau<=3/2$
e ovviamente per $t<-3/2$ e per $t>3/2$ è zero.
GRAZIE per il tuo preziosissimo aiuto.
"Ahi":
2) $int_{-1/2}^{tau} (1-(tau-t))dt+int_{tau}^{+1/2} (1+(tau-t))dt=3/4-tau^2$ questo per $-1/2<=tau<=-1/2$
per $-1/2<=tau<=1/2$, sì le sviste ci sono anche di giorno
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