Convesso-semplicemente connesso

[marcomora]

È sbagliato pensare che un insieme se semplicemente connesso è concavo e viceversa?

[gugo82]

Insieme concavo?
Che roba è?...

[marcomora]

Ops volevo scrivere convesso...

[gugo82]

Gli insiemi semplicemente connessi non sono tenuti ad essere convessi, nemmeno nel caso semplice di \(\mathbb{R}^2\).
Infatti, ad esempio, un insieme fatto così:
[asvg]noaxes();
stroke="red"; strokewidth=2; fill="orange";
path([[-5,-5],[5,-5],[5,5],[2,5],[2,-2],[-2,-2],[-2,5],[-5,5],[-5,-5]]);[/asvg]
è semplicemente connesso, ma non convesso.

Il viceversa dovrebbe essere vero sempre, ma aspetta conferma.

[_fabricius_1]

Sì, gl'insiemi convessi sono semplicemente connessi.

Sia \(C\subset \mathbb{R}^n\) un insieme convesso, e sia \(\gamma \colon [a,b]\rightarrow C\) una curva chiusa.
Allora posto per ogni \((t, \lambda)\in[a,b]\times [0,1]\)\[ H(t,\lambda)=(1-\lambda)\gamma(t)+\lambda\gamma(a)\] si ha che $H$ è un'omotopia tra \(\gamma\) e l'applicazione \([a,b]\rightarrow C\) di costante valore \(\gamma(a)\).

[gugo82]

@ _fabricius_: Grazie.

@ marcomora: Ovviamente, l'applicazione \(H\) definita da _fabricius_ ha immagine un insieme costituito da segmenti (fissato \(t\in [a,b]\), \(H(t,[0,1])\) è il segmento che connette i punti \(\gamma (t)\) e \(\gamma (a)\)), perciò se \(C\) è convesso \(H([a,b]\times [0,1])\) è contenuto in \(C\).

[marcomora]

ok perfetto grazie mille