Convessità in più variabili

[anto_zoolander]

Devo dimostrare(senza Taylor, lo so che è brutta abitudine) la seguente cosa:

sia $f:AsubseteqRR^n->RR$ funzione con $A$ aperto(non vuoto) e sia $x_0 in A$
supponiamo che $f$ sia differenziabile in $A$ e due volte differenziabile in $x_0$, allora

se $H(x_0)$ è definita positiva allora $f$ è convessa in $x_0$

essenzialmente non so come concludere, ho fatto così:
consideriamo per ogni versore $v in RR^n$ la funzione $g(t)=f(x_0+tv)-f(x_0)-nablaf(x_0)*(tv)$
è chiaro che $g''(t)=v*H(x_0+tv)*v$ e quindi essendo definita positiva in $x_0$ sarà $g''(0)>0$
per permanenza del segno è chiaro che si arriva ad un punto in cui $x_0$ è il minimo di questa funzione $g$

non c'è ambiguità nel considerare $x_0+tv$ in quanto essendo $A$ aperto allora $x_0$ è interno quindi sicuramente la funzione $g$ è ben definita su un certo intervallo $(-r,r)$

sono arrivato al punto in cui per ogni versore $v in RR^n$ esiste un certo $r>0$ per cui

$f(x_0+tv)geqf(x_0)+nablaf(x_0)*(tv), forall t in (-r,r)$

quindi $f$ è convessa lungo ogni retta

ora considerata una base di $RR^n$, sia essa $B={e_1,...,e_n}$ di vettori di norma $1$ avremo che la precedente affermazione vale ancora e quindi si può prendere una successione $r_1,...,r_n$ e considerarne il minimo $r$ da cui

$forallk in I_n(f(x_0+te_k)geqf(x_0)+nablaf(x_0)*(te_k), forall t in (-r,r))$

pensavo di usare il fatto che essendo $x_0$ interno esisterà un certo $delta>0$ per cui $B(x_0,delta)subseteqA$ e considerare che preso un qualsiasi $x in B(x_0,delta)$ essendo $f$ differenziabile su questo convesso dovrà essere che per Lagrange esista un certo $z in [x,x_0]$ per cui $f(x)=f(x_0)+nablaf(z)*(x-x_0)$

Mi aiutate prima che tiro tutte cose?