Convessità funzioni derivabili
L'esercizio mi chiede di dimostrare che la funzione
$F(x):=\int_{2}^{x} arctan(e^t)" d"t$
sia strettamente convessa.
Ho pensato di utilizzare la condizione sufficiente di secondo ordine per la convessità (cosi l'abbiamo chiamata a lezione) per cui se $F$ e $F'$ sono continue e $F$ è due volte derivabile nell'interno se $F'' (x) > 0$ allora $F$ è strettamente convessa.
Dato che $F'(x):= arctan (e^x)$ e $F''(x):=e^x/(1+e^(2x))$
dovrei porre \(F"(x) > 0\).
E' giusto il procedimento? E quando è maggiore di $0$? Devo anche considerare che l'integrale è considerato sull'intervallo $[2,infty[$ ?
Grazie per l'aiuto
$F(x):=\int_{2}^{x} arctan(e^t)" d"t$
sia strettamente convessa.
Ho pensato di utilizzare la condizione sufficiente di secondo ordine per la convessità (cosi l'abbiamo chiamata a lezione) per cui se $F$ e $F'$ sono continue e $F$ è due volte derivabile nell'interno se $F'' (x) > 0$ allora $F$ è strettamente convessa.
Dato che $F'(x):= arctan (e^x)$ e $F''(x):=e^x/(1+e^(2x))$
dovrei porre \(F"(x) > 0\).
E' giusto il procedimento? E quando è maggiore di $0$? Devo anche considerare che l'integrale è considerato sull'intervallo $[2,infty[$ ?
Grazie per l'aiuto
Risposte
Giusto. L'esponenziale è sempre positiva (almeno in $\mathbb R$) quindi $F''(x)>0$.
Perché l'integrale è considerato sull'intervallo $[2,+\infty [$?
Perché l'integrale è considerato sull'intervallo $[2,+\infty [$?
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