Convessità, esercizio

[Seneca1]

Sia $f : [ 0 , + oo [ -> RR$ continua. Si suppone inoltre $f(0) = 1$ e $lim_(x -> +oo) f(x) = 2$.

Provare che $f$ non può essere convessa.


Svolgimento:

Supponiamo sia convessa.

$AA x_1 < x in [ 0 , + oo [ $ , $AA lambda in [ 0 , 1 ] $

deve essere $f( x_1 + lambda ( x - x_1 ) ) <= f(x_1) + lambda ( f(x) - f(x_1) )$ (*)

Considero $x_1 = 0$

Faccio tendere $x -> +oo$ :

$lim_(x -> +oo) f( 0 + lambda ( x - 0 ) ) = 2$

e $lim_(x -> +oo) f(0) + lambda ( f(x) - f(0) ) = 1 + lambda ( 2 - 1 ) = 1 + lambda 1$

Percui, per la (*), avrei $2 <= 1 + lambda 1$.


1) E' corretto il ragionamento sul passaggio al limite?

2) L'ultima disuguaglianza è sufficiente a concludere l'assurdo?

Grazie in anticipo.

[Seneca1]

"Seneca":
2) L'ultima disuguaglianza è sufficiente a concludere l'assurdo?

A questa domanda provo a rispondermi da solo.

Io direi che, pur essendo verificata per $lambda = 1$, la condizione analitica di convessità non sussiste sempre.

Resta l'interrogativo sul passaggio al limite...

[Rigel1]

I passaggi al limite mi sembrano corretti, con l'unica accortezza che deve essere $\lambda\in (0,1]$.
Volendo, puoi anche fissare direttamente $\lambda = \frac{1}{2}$; sempre con la scelta $x_1=0$ ottieni, per convessità,
$f(\frac{x}{2}) \le \frac{1}{2} + \frac{f(x)}{2}$.
Passando al limite per $x\to +\infty$ ottieni dunque l'assurdo.

[Seneca1]

"Rigel":I passaggi al limite mi sembrano corretti, con l'unica accortezza che deve essere $\lambda\in (0,1]$.
Volendo, puoi anche fissare direttamente $\lambda = \frac{1}{2}$; sempre con la scelta $x_1=0$ ottieni, per convessità,
$f(\frac{x}{2}) \le \frac{1}{2} + \frac{f(x)}{2}$.
Passando al limite per $x\to +\infty$ ottieni dunque l'assurdo.

Perciò l'idea è giusta?

Come mai la condizione di convessità richiede $lambda in ] 0 , 1]$?

Sinceri grazie del controllo/suggerimento.

[Rigel1]

Sì, l'idea va bene.
La condizione di convessità si scrive per $\lambda \in [0,1]$. Per poter passare al limite nella tua espressione occorre però che $\lambda > 0$, altrimenti a sinistra hai sempre $f(0)$.
Per ottenere l'assurdo puoi dunque fissare qualunque valore di $\lambda \in (0,1)$.

[Seneca1]

Chiarissimo, grazie.