Convessità e lipschitzianità
Vorrei sapere come sono legati tra loro il concetto di convessità e lischitzianità di una funzione. (Per comodità la penso di R in R).
So che esiste una proprietà per cui:
Una funzione convessa è lipschitziana in ogni compatto. (all'incirca deve essere questo l'enunciato, probabile che sia stata imprecisa)
Vorrei capirci qualcosa di più. Come si dimostra questo fatto? So che se una funzione è convessa, presi due punti del grafico, la retta che li congiunge "sta sopra" al grafico stesso. Bene. Come posso sfruttare questa ipotesi per arrivare alla conclusione che voglio? Presumo anche che da qualche parte bisognerà usare l'ipotesi di compattezza, altrimenti mi casca l'asino con un sacco di controesempi...
Idee, suggerimenti?
So che esiste una proprietà per cui:
Una funzione convessa è lipschitziana in ogni compatto. (all'incirca deve essere questo l'enunciato, probabile che sia stata imprecisa)
Vorrei capirci qualcosa di più. Come si dimostra questo fatto? So che se una funzione è convessa, presi due punti del grafico, la retta che li congiunge "sta sopra" al grafico stesso. Bene. Come posso sfruttare questa ipotesi per arrivare alla conclusione che voglio? Presumo anche che da qualche parte bisognerà usare l'ipotesi di compattezza, altrimenti mi casca l'asino con un sacco di controesempi...
Idee, suggerimenti?
Risposte
Trovi la dimostrazione ad esempio nel libro di Fusco-Marcellini-Sbordone, Analisi Matematica 2, p. 187.
Grazie!
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