Convessità e convergenza in senso debole
Ciao a tutti,
premetto che non sono un matematico e mi sto ritrovando a studiare argomenti di matematica avanzata. Ho notato che in genere l'ipotesi di convessità e convergenza debole sono strettamente legate.
Ad esempio un insieme convesso e chiuso è chiuso debolmente. Un funzionale convesso e semi-continuo inferiormente allora è semi-continuo inferiormente in senso debole. Tra l'altro credo nel senso sequenziale non topologico, esatto? Oppure vale anche per la convergenza topologica.
Da dove nasce questo legame. Mi sapreste dare una spiegazione intuitiva. O indicare dove poter leggere ed approfondire.
Grazie!
premetto che non sono un matematico e mi sto ritrovando a studiare argomenti di matematica avanzata. Ho notato che in genere l'ipotesi di convessità e convergenza debole sono strettamente legate.
Ad esempio un insieme convesso e chiuso è chiuso debolmente. Un funzionale convesso e semi-continuo inferiormente allora è semi-continuo inferiormente in senso debole. Tra l'altro credo nel senso sequenziale non topologico, esatto? Oppure vale anche per la convergenza topologica.
Da dove nasce questo legame. Mi sapreste dare una spiegazione intuitiva. O indicare dove poter leggere ed approfondire.
Grazie!
Risposte
Il legame è legato all'esistenza del teorema di Hahn-Banach (o dovrei dire dei teoremi). In computer grafica l'ho anche sentito chiamare axis separation theorem o hyperplane separation theorem (anche se in genere si usano su politopi).
Nel Brezis è il primo argomento presentato ( http://www.springer.com/us/book/9780387709130 ).
Non sono comunque un esperto del settore, quindi per manuali più appropriati è meglio se aspetti persone più esperte di me.
Nel Brezis è il primo argomento presentato ( http://www.springer.com/us/book/9780387709130 ).
Non sono comunque un esperto del settore, quindi per manuali più appropriati è meglio se aspetti persone più esperte di me.
Grazie!
Il teorema di Hanh Banach l'ho sempre inteso come teorema che permettesse la separazione di insiemi. Appunto in informatica è usato per la separazione di punti nello spazio.
Ho dato un'occhiata al Brezis ma è troppo matematico per me!
Il teorema di Hanh Banach l'ho sempre inteso come teorema che permettesse la separazione di insiemi. Appunto in informatica è usato per la separazione di punti nello spazio.
Ho dato un'occhiata al Brezis ma è troppo matematico per me!
Il punto è quello. Tu stai separando con iperpiani, ovvero qualcosa che è definito attraverso forme lineari continue. La topologia debole è la topologia di quello che può essere distinto attraverso iperpiani (con una approssimazione molto grande).
In pratica comunque, se \(\displaystyle x_n \rightharpoonup x \) allora, per ogni iperpiano \(\displaystyle \pi \), esiste un \(\displaystyle N \) tale che la sottosuccessione \(\displaystyle \{x_n\}_{n\ge N} \) è dalla stessa parte di \(\displaystyle x \) rispetto all'iperpiano \(\displaystyle \pi \).
In pratica comunque, se \(\displaystyle x_n \rightharpoonup x \) allora, per ogni iperpiano \(\displaystyle \pi \), esiste un \(\displaystyle N \) tale che la sottosuccessione \(\displaystyle \{x_n\}_{n\ge N} \) è dalla stessa parte di \(\displaystyle x \) rispetto all'iperpiano \(\displaystyle \pi \).
Giustissimo!
Non avevo mai pensato il tutto sotto questa ottica, grazie infinite!
Non avevo mai pensato il tutto sotto questa ottica, grazie infinite!
Accedi a tutti gli appunti
Tutor AI: studia meglio e in meno tempo