Convessita e concavita

[davide940]

determinare $ p > 0 $ tale che $ f : x^p + 1/x $ con $ x > 0 $ sia convessa su $(0, oo)$
Per farlo ho derivato due volte risulta:
$ f''(x) = p(p-1)x^(p-2)+2/x^3 $
Ora devo studiare $ f''(x) >= 0 $
$ p(p-1)x^(p-2)+2/x^3 >= 0 $
Ora $ x > 0 $ quindi:
$ p(p-1)x^(p+1)+2 >= 0 $
Ora non so come continuare

[Frink1]

Per $ x->+oo $ il $ 2 $ diventa trascurabile. Allora...
Chiaramente quando è positivo solo $ p(p-1)x^(p-2) $ lo è anche la somma con qualsiasi altro membro positivo, es. $ 2/x^3 $. Non so se sia un procedimento corretto, ma io farei così...

[davide940]

Allora ho trovato $ p(p-1)x^(p+1) >= -2 $
$ p(p-1) >= 0 $ se e solo se $ p >= 1 $ da testo dell'esercizio $ p > 0 $
quindi
$ p(p-1)x^(p+1) > -2 $ è sempre vera perchè $ x^(p+1) > 0 $ sempre
Ora però devo studiare $ 0 < p < 1 $ quindi $ p(p-1) < 0 $
Dovrei trovare questo ma adesso come procedo? la soluzione dell'esercizio è $p>= 1$ quindi la disuguaglianza non deve mai essere verificata
$ x^(p+1) < 2/(p(p-1)) $