Convessità di una funzione

[niccolobaccini]

salve ,
ho problemi con la risoluzione di quest esercizio
$ falpha (x)=e^x-alpha x $
per quali valori del parametro $ falpha (x) $ è convessa ?

1)$ alpha >0$
2)$ alpha $ $ in $ (-1,1]
3)$ alpha $ $ in $ [0,1]
4)$ alpha $ $ in $ [0,e/6]

ho calcolato la derivata seconda

f"(x)=$ e^x -6alphax$

$ e^x -6alphax >=0 $

se $ alpha $ < 0 la funzione è negativa per x<0 quindi $ alpha $ deve essere >0
se $ alpha $ = 0 è convessa
se $ alpha > 0$
$ e^x /(6x) > alpha>0 $
come proseguo?

[pilloeffe]

Ciao niccolo123,

Scusa, ma come calcoli la derivata seconda?
Se $f_{\alpha}(x) = e^x - \alpha x $ si ha:

$ f_{\alpha}^{(1)}(x) = e^x - \alpha $
$ f_{\alpha}^{(2)}(x) = e^x $

[Mephlip]

@pilloeffe: che la funzione sia $f_{\alpha}(x)=e^x-\alphax^3$? Vediamo se inizio a sviluppare capacità di chiaroveggenza come voi big del forum

[Fioravante Patrone1]

"Mephlip":@pilloeffe: che la funzione sia $ f_{\alpha}(x)=e^x-\alphax^3 $? Vediamo se inizio a sviluppare capacità di chiaroveggenza come voi big del forum

Da (molto) vecchio del forum (e non solo) direi che la tua illazione pare molto fondata.

Anche per via della asfissiante presenza dei signori Cut e Paste che quando si riuniscono con LaTeX e friends tendono ad annebbiare il pensiero cosciente

Per la curiosa presenza di un "6" che si incastra in modo perfetto con la tua illazione (provo a chiroveggiare anch'io: è di lì che ti è partita la chiara visione?)

Poi ci sarebbe un altro piccolo indizio: se la funzione fosse quella che ha scritto, la domanda sarebbe molto facile. Però, su questo, esiterei perché magari potrebbe essere stato deciso scientemente di mettere una domanda facile

[gugo82]

Un esercizio uguale c’è nei mei fogli di esercizi (e, se non ricordo male, è un retaggio di qualche vecchio eserciziario di Analisi…).
Confermo che la funzione è $f_alpha (x) := e^x - alpha x^3$.

[niccolobaccini]

si ho sbagliato a trascrivere scusate la funzione è
$ f_alpha (x) := e^x - alpha x^3 $

[gugo82]

Scusa, ma ti pare che $ e^x /(6x) > alpha>0 $ abbia qualche senso?

[niccolobaccini]

"gugo82":Scusa, ma ti pare che $ e^x /(6x) > alpha>0 $ abbia qualche senso?

e $ e^x /(6x) >alpha $ e quindi
$ e^x /(6x) >0$

[Mephlip]

@Fioravante
[ot]È partita esattamente dal $6$: vista la chiara incongruenza tra testo e svolgimento della derivata seconda uno dei due doveva essere errato (derivata seconda di una funzione molto semplice, la derivata poi è un'operazione intrinsecamente un po' automatica se si ha un'espressione analitica, quindi tendevo a pensare che fosse molto più probabile l'errore nel testo), la comparsa del fattore $6$ mi ha fatto pensare alla sindrome dell'esponente fantasma cubico. Quindi anche tu hai chiaroveggiato correttamente la mia chiaroveggenza![/ot]

[niccolobaccini]

quindi?

[pilloeffe]

"niccolo123":si ho sbagliato a trascrivere scusate la funzione è $ f_{\alpha} (x) := e^x - \alpha x^3 $

D'accordo, in tal caso in effetti $ f_{\alpha}^{(2)}(x) = e^x - 6\alpha x $
Quindi da $ f_{\alpha}^{(2)}(x) >= 0 \implies e^x >= 6\alpha x $

Ponendo per comodità $m := 6\alpha $, graficamente sei interessato a sapere per quali valori di $m$ la ben nota funzione esponenziale $y = e^x $ è maggiore od uguale alla retta passante per l'origine $y = mx $, quindi $m$ può variare fra ... e ... e pertanto la risposta corretta è ...

[gugo82]

Quindi quello che hai scritto non ha alcun senso.

Devi discutere la disequazione $e^x - 6 alpha x >= 0$ al variare del parametro $alpha$; ed è chiaro che la disequazione non si risolve esplicitamente.
Quindi, come fai?

Il suggerimento di pilloeffe sembra andare nella direzione giusta.