Convessità di questa funzione in un sottointervallo
Buon pomeriggio a tutti,
Mi trovo qui a chiedere aiuto in merito a questo esercizio, in quanto non ho saputo risolverlo da solo.
Il testo mi dà la funzione $f(x, y) = e^{3x}(1 + 25x^2 + 25y^2)$ e mi dà un insieme (non legato alla funzione) $A = \{ (x, y) \in\mathbb{R}^2: 9x^2 + 9y^2 < 1\}$.
Mi viene chiesto di trovare un sottoinsieme infinito di $A$ in cui $f$ sia convessa.
Io personalmente ho dovuto prima capire che "infinito" è inteso come cardinalità. Altrimenti non avrei saputo come farlo dato che ogni sottoinsieme di $A$ è limitato.
In secondo luogo ho provato a partire con lo studio della Hessiana per capire gli intervalli di convessità, ma viene una cosa orribile
$$H = \begin{pmatrix} e^{3x}(225y^2 + 225x^2 + 300x + 59) & 150ye^{3x} \\\\ 150 y e^{3x} & 50 \end{pmatrix}$$
Da qui non posso certo studiare quando è positivo il determinante e negativo il termine in alto a sinistra, mi sembra che venga fuori una roba terribile.
E allora mi chiedo: in che modo posso risolvere la domanda? Ho usato geogebra per plottare le due funzioni. Il dominio (ma questo lo sapevo, dai almeno questo) è un cilindro infinito. Vedo dal grafico che c'è un pezzo di $f$ che assomiglia ad un paraboloide, ed è proprio dentro al cilindro. Non so come tradurre tutto questo in matematico pero.
Grazie a chi mi darà indizi e aiuti!
Mi trovo qui a chiedere aiuto in merito a questo esercizio, in quanto non ho saputo risolverlo da solo.
Il testo mi dà la funzione $f(x, y) = e^{3x}(1 + 25x^2 + 25y^2)$ e mi dà un insieme (non legato alla funzione) $A = \{ (x, y) \in\mathbb{R}^2: 9x^2 + 9y^2 < 1\}$.
Mi viene chiesto di trovare un sottoinsieme infinito di $A$ in cui $f$ sia convessa.
Io personalmente ho dovuto prima capire che "infinito" è inteso come cardinalità. Altrimenti non avrei saputo come farlo dato che ogni sottoinsieme di $A$ è limitato.
In secondo luogo ho provato a partire con lo studio della Hessiana per capire gli intervalli di convessità, ma viene una cosa orribile
$$H = \begin{pmatrix} e^{3x}(225y^2 + 225x^2 + 300x + 59) & 150ye^{3x} \\\\ 150 y e^{3x} & 50 \end{pmatrix}$$
Da qui non posso certo studiare quando è positivo il determinante e negativo il termine in alto a sinistra, mi sembra che venga fuori una roba terribile.
E allora mi chiedo: in che modo posso risolvere la domanda? Ho usato geogebra per plottare le due funzioni. Il dominio (ma questo lo sapevo, dai almeno questo) è un cilindro infinito. Vedo dal grafico che c'è un pezzo di $f$ che assomiglia ad un paraboloide, ed è proprio dentro al cilindro. Non so come tradurre tutto questo in matematico pero.
Grazie a chi mi darà indizi e aiuti!
Risposte
$A$ non è un cilindro, ma un cerchio, a me sembra comunque che ${(x,y)\inA|y=0}$ faccia al caso tuo, controlla.
"otta96":
$ A $ non è un cilindro, ma un cerchio, a me sembra comunque che $ {(x,y)\inA|y=0} $ faccia al caso tuo, controlla.
...Argomentazione?
Non per il cerchio, quello l'ho capito.. Pensavo a $\mathbb{R}^3$.
Forse dici dalla Hessiana, hai deciso di eliminare $y$ così da garantire convessità almeno per $-30\sqrt{41} < x < 30\sqrt{41}$? Se è così ok. Se ci sono altre ragioni, non le ho comprese.
Non ho capito.
Risolto!
Ho ragionato su una restrizione di $f$, unita ad alcune proprietà del prodotto di funzioni.
Ho ragionato su una restrizione di $f$, unita ad alcune proprietà del prodotto di funzioni.
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