Convessità

[pigrecoedition]

Salve, vorrei chiedervi se la dimostrazione svolta da me di questa proposizione che riguarda le funzioni convesse è esatta. La proposizione afferma che se f è una funzione convessa in un intervallo I, allora f è lipschtziana in un intervallo [a,b] contenuto in I.
Dim. Poichè f convessa in I, essa sarà continua nei punti interni di I e quindi in qualsiasi intervallo contenuto in I aperto, in particolare in [a,b]. In [a,b] la funzione rapporto incrementale è limitata e quindi dalla definizione di funzione lipschtziana f è lipschtziana in [a,b].
P.S. La funzione f può essere lipschtziana in I ?

[bosmer-votailprof]

A me pare corretta.
P.S.
dipende se $I$ è aperto o chiuso.
Se è aperto in generale la sola convessità non basta devi anche chiedere che la funzione sia limitata, o qualche altra ipotesi equivalente, perché la funzione potrebbe "divergere" agli estremi rimanendo convessa e continua.

se $I$ è chiuso devi ricordare che la sola convessità non ti garantisce la continuità agli estremi. Anche se sono abbastanza sicuro che la funzione rimanga lipshitziana anche se la funzione è discontinua agli estremi, poiché comunque con la sola ipotesi di convessità se $I$ è chiuso la funzione rimane per forza limitata, perché il valore agli estremi deve per forza essere un valore finito.
Se vuoi puoi provare a dimostrarlo per $I$ chiuso non dovrebbe essere intricato.