Convessa $=>$ continua

[DavideGenova1]

Ciao, amici!
Il libro di analisi che sto seguendo riporta la dimostrazione del fatto che se una funzione è convessa su (a,b) allora è continua, utilizzando il fatto che una funzione è (strettamente) convessa in (a,b) se e solo se
$AA a (f(x)-f(x_1))/(x-x_1)<(f(x_2)-f(x_1))/(x_2-x_1)<(f(x_2)-f(x))/(x_2-x)$.
Non riporto tutta la dimostrazione, piuttosto immediata sostituendo agli $x_1x (con $x_0,x in [A,B]$; per dimostrare la continuità da destra e da sinistra in $x_0$ si sceglierà rispettivamente $x>x_0$ e poi $xf è convessa (quando si sceglie $x>x_0$ per dimostrare la continuità da destra) si ha che
$(f(x_0)-f(A))/(x_0-A) (x-x_0) Quindi, per dimostrare la continuità, cioè che $AA\epsilon>0 EE\delta>0:(|x-x_0|<\delta => |f(x)-f(x_0)|<\epsilon)$ basta scegliere un $\delta$ tale che
$(f(B)-f(x_0))/(B-x_0) \delta < \epsilon$ e che -dice il libro- $(f(x_0)-f(A))/(x_0-A) \delta<\epsilon$.

L'ultima disuguaglianza deve essere così o è piuttosto da soddisfare $(f(x_0)-f(A))/(x_0-A) \delta> - \epsilon$ (dato che direi che $|a| -b Grazie di cuore a tutti!!!

[Principe2]

a parte i dettagli della dimostrazione (che lasciano il tempo che trovano) prova a immaginare la seguente situazione: disegna su un foglio i punti $(0,0)$ e $(0,1)$ e supponi che una funzione salta (quando passi da $x<0$ a $x>0$) dal primo al secondo punto. Prendi un punto sull'asse $x$ vicinissimo a $x=0$, diciamo $(-\varepsilon,f(-\varepsilon))$, e poi prendi $(\varepsilon,f(\varepsilon))$. Se ora provi a unire questi due punti ti rendi conti che sei "obbligato" a uscire dall'epigrafico...

[Gaal Dornick]

Non ho letto il tuo post. Ti dico soltanto qual è il teorema.

Una funzione convessa su un insieme reale è contina nella parte interna dell'insieme.
Questo teorema rimane valido in $RR^n$, o in generale in uno spazio vettoriale di dimensione finita, ma cade su uno spazio di dimensione infinita.

[DavideGenova1]

Vi ringrazio solo adesso, ragazzi, peché sono rimasto qualche giorno con il computer in panne (era rotta la ventola).
Ciao e grazie di nuovo a tutti!!!