Convergenza/divergenza serie assurda

[iMax21]

All'ultimo esame di analisi matematica mi sono ritrovato con lo studio della convergenza/divergenza di una serie...nessuno ha scritto qualcosa su questo esercizio e sinceramente a distanza di mesi ancora non vedo una via su come procedere:

$\sum_{n=1}^infty n/(log^n((1+e^2 * n)/(2+n)))$

qualcuno può darmi una dritta?

[Zero87]

Provo un procedimento pizza e fichi.

Per $n->+\infty$, il denominatore tende a $log^n (e^2)= (log(e^2))^n= 2^n$ per cui
$n/(...) ~ n/(2^n)$
la cui serie converge.

[_luca94_1]

"iMax21":All'ultimo esame di analisi matematica mi sono ritrovato con lo studio della convergenza/divergenza di una serie...nessuno ha scritto qualcosa su questo esercizio e sinceramente a distanza di mesi ancora non vedo una via su come procedere:

$\sum_{n=1}^infty n/(log^n((1+e^2 * n)/(2+n)))$

qualcuno può darmi una dritta?

Non vorrei dire una fesseria, ma si vede benissimo che $n$ può assumere solo valori tra 1 e 8, quindi non può crescere infinitamente. L' argomento del logaritmo è maggiore di zero tra 1 e 8, dopodichè non esiste.

[Zero87]

"_luca94_":Non vorrei dire una fesseria, ma si vede benissimo che $n$ può assumere solo valori tra 1 e 8, quindi non può crescere infinitamente. L' argomento del logaritmo è maggiore di zero tra 1 e 8, dopodichè non esiste.

Uhm, per ogni $n\ge 1$ l'argomento del logaritmo è un rapporto tra quantità positive, dunque positivo.

[_luca94_1]

"Zero87":[quote="_luca94_"]Non vorrei dire una fesseria, ma si vede benissimo che $n$ può assumere solo valori tra 1 e 8, quindi non può crescere infinitamente. L' argomento del logaritmo è maggiore di zero tra 1 e 8, dopodichè non esiste.

Uhm, per ogni $n\ge 1$ l'argomento del logaritmo è un rapporto tra quantità positive, dunque positivo. [/quote]
Emh...scusami ma avevo visto male, credevo fosse $\sum_{n=1}^infty n/(log^n((1+n-e^2)/(2+n)))$

In ogni modo, si fa abbastanza presto a dire che è convergente, in quanto, applicando il criterio della radice, si calcola:

$\lim_{n \to \infty}root(n)(n/(log^n((1+n*e^2)/(2+n)))) = \lim_{n \to \infty}n^(1/n)/(log((1+n*e^2)/(2+n))) = \lim_{n \to \infty}e^(1/nlog(n))/(log((1+n*e^2)/(2+n))) = e^0/log(e^2) = 1/2 < 1$

[iMax21]

ringrazio tutti per le risposte!!