Convergenza variabili aleatorie

[ale88]

Ciao a tutti! ho questo esercizio di probabilità , preso da un vecchio esame, che non riesco proprio a risolvere...

"Siano X1,X2,.... variabili aleatorie indipendenti, Xn--exp(Zn) per ogni n>1, dove 0 < Zn --->Z, Z>0.
Posto Sn = X1+ ..... + Xn per ogni n>1, si verifichi se Sn---> +infinito quasi certamente. "

vorrei abbozzare una soluzione...ma l'unica cosa che so è la definizione di convergenza quasi certa...e sinceramente non so come applicarla in questo esercizio.... :(

[ciampax]

Hai provato a scrivere esplicitamente cosa sia

[math]S_n[/math]

? Dal momento che

[math]S_n=\sum_{k=1}^n X_k[/math]

e che

[math]X_k\sim\exp(Z_k)[/math]

allora

[math]S_n\sim\sum_{k=1}^n \exp{Z_k}[/math]

Ora, dal momento che

[math]Z_k\to Z>0[/math]

si ha pure

[math]\exp(Z_k)\to \exp(Z)[/math]

ma allora

[math]S_n\sim n\exp(Z)[/math]

, sei daccordo? (soprattutto, sai come dimostrarlo?). Infine se fai il limite per

[math]n\to+\infty[/math]

ottieni che

[math]S_n\to+\infty[/math]

che è quanto ti serve.