Convergenza uniforme(teoria)
salve forum. Ma se ho una successione di funzioni continue convergente uniformemente a f iin $ (a,+oo) $ e' vero che c'e' convergenza uniforme in $ [a,+oo) $? Ho provato a dimostrarlo costruendo una successione convergente ad a contenuta in $ (a,+oo) $ ad esempio $ a+1/n $ e sfruttando la continuita' di fn e di f ho provato che $ Sup|fn(x)-f(x)| > = | fn(a)-f(a)| $ da cui la convergenza uniforme in $ [a,+oo) $. e' corretto?Ho pensato a questa proprieta perche' l'ho vista verificata se si considera un intervallo $ (a,b) $. fatemi sapere 
Risposte
Se $g$ è una funzione continua su $[a,+\infty[$ si dimostra facilmente che
$$\sup_{x>a}g(x)=\sup_{x\geq a}g(x)$$
Allora se sai a priori che $f_n$ ed $f$ sono continue su $[a,+\infty[$, dalla convergenza uniforme di $f_n$ a $f$ su $]a,+\infty[$ segue la convergenza uniforme di $f_n$ a $f$ su $[a,+\infty[$.
Peraltro se le $f_n$ sono continue su $[a,+\infty[$ e convergono uniformemente a $f$ su $]a,+\infty[$ direi che $f$ si prolunga in $a$ a una funzione continua (e quindi vale il discorso sopra). Questo risultato dovrebbe seguire usando la proprietà di Cauchy (imitando la dimostrazione della completezza di $C(a,b)$). Se vuoi ci rifletto un momento.
$$\sup_{x>a}g(x)=\sup_{x\geq a}g(x)$$
Allora se sai a priori che $f_n$ ed $f$ sono continue su $[a,+\infty[$, dalla convergenza uniforme di $f_n$ a $f$ su $]a,+\infty[$ segue la convergenza uniforme di $f_n$ a $f$ su $[a,+\infty[$.
Peraltro se le $f_n$ sono continue su $[a,+\infty[$ e convergono uniformemente a $f$ su $]a,+\infty[$ direi che $f$ si prolunga in $a$ a una funzione continua (e quindi vale il discorso sopra). Questo risultato dovrebbe seguire usando la proprietà di Cauchy (imitando la dimostrazione della completezza di $C(a,b)$). Se vuoi ci rifletto un momento.
Si grazie anche perche' ad esempio con le serie numeriche,se le ridotte n-esime sono continue e se ho convergenza uniforme allora f e' continua nell'intervallo proprio per la convergenza uniforme ma non saprei se la funzione e' continua nel punto oppure no. fammi sapere
Dunque lasciamo perdere il punto all'infinito che qui non mi pare che c'entri e supponiamo di avere una successione $(f_n)$ di funzioni continue su $[a,b]$ che convergono uniformemente su $]a,b]$ ad una funzione $f$ (che di suo risulta definita su
$]a,b]$. Questo vuol dire che $||f_n-f||_{\infty,[a,b]}\to0$, dove $||g||_{\infty,[a,b]}="sup"\{|g(x)|:x\in]a,b]\}$. Se ne deduce che vale la proprietà di Cauchy:
$$\forall\epsilon>0\ \exists\bar n\ :\ \forall n,m\geq\bar n \quad\|f_n-f_m\|_{\infty,]a,b]}<\epsilon$$
Per la continuità di $f_n-f_m$ in $[a,b]$ si ha
$$\|f_n-f_m\|_{\infty,]a,b]}=\|f_n-f_m\|_{\infty,[a,b]}=\max\{|f_n(x)-f_m(x)|:x\in[a,b]\}$$
Dunque $(f_n)$ è di Cauchy in $C(a,b)$ (=funzioni continue su $[a,b]$). Per la completezza di $C(a,b)$ esiste una funzione $\tilde f:[a,b]\to R$ continua tale che $f_n\to\tilde f$ uniformemente.
Dalla convergenza puntuale è facile dedurre che $\tilde f$$(x)=f(x)$ per tutte le $x\in]a,b]$.
$]a,b]$. Questo vuol dire che $||f_n-f||_{\infty,[a,b]}\to0$, dove $||g||_{\infty,[a,b]}="sup"\{|g(x)|:x\in]a,b]\}$. Se ne deduce che vale la proprietà di Cauchy:
$$\forall\epsilon>0\ \exists\bar n\ :\ \forall n,m\geq\bar n \quad\|f_n-f_m\|_{\infty,]a,b]}<\epsilon$$
Per la continuità di $f_n-f_m$ in $[a,b]$ si ha
$$\|f_n-f_m\|_{\infty,]a,b]}=\|f_n-f_m\|_{\infty,[a,b]}=\max\{|f_n(x)-f_m(x)|:x\in[a,b]\}$$
Dunque $(f_n)$ è di Cauchy in $C(a,b)$ (=funzioni continue su $[a,b]$). Per la completezza di $C(a,b)$ esiste una funzione $\tilde f:[a,b]\to R$ continua tale che $f_n\to\tilde f$ uniformemente.
Dalla convergenza puntuale è facile dedurre che $\tilde f$$(x)=f(x)$ per tutte le $x\in]a,b]$.
quindi in questo modo si e' provato che c'e' convergenza uniforme a f segnato ma quindi come mai poi a f nel chiuso [a.b]giusto?cmq mi spiegheresti meglio questo teorema della completezza?grazie mille
E' un teorema importante che afferma che lo spazio delle funzioni continue su $[a,b]$, dotato della norma indotta dalla convergenza uniforme è completo.
In sostanza se una successione $(f_n)$ di funzioni continue su $[a,b]$ è di Cauchy nella norma uniforme $||g||_{\infty,[a,b]}:=\max\{|g(x)|:a\leq x\leq b\}$, allora esiste una funzione $f$ continua su $[a,b]$ tale che $f_n\to f$ uniformemente in $[a,b]$.
In sostanza se una successione $(f_n)$ di funzioni continue su $[a,b]$ è di Cauchy nella norma uniforme $||g||_{\infty,[a,b]}:=\max\{|g(x)|:a\leq x\leq b\}$, allora esiste una funzione $f$ continua su $[a,b]$ tale che $f_n\to f$ uniformemente in $[a,b]$.
grazie. solo che non capisco perche' si puo' affermare che c'e' conv. uniforme a f visto che c'e' per f segnato
Il ragionamento è questo.
(1) $f_n\to f$ uniformemente su $]a,b]$.
DUNQUE
(2) $(f_n)$ è di Cauchy rispetto alla norma uniforme su $]a,b]$
DUNQUE (le norme uniformi su $]a,b]$ e su $[a,b]$ coincidono sulle funzioni continue)
(3) $(f_n)$ è di Cauchy rispetto alla norma uniforme su $[a,b]$
DUNQUE (completezza)
(4) esiste il limite uniforme su $[a,b]$ delle $(f_n)$ -- lo chiamiamo $\bar f$. $\bar f$ è continua su $[a,b]$
MA dato che la convergenza uniforme implica la convergenza puntuale
(5) $f_n(x)\to f(x)$ per ogni $x$ in $]a,b]$
(6) $f_n(x)\to\bar f (x)$ per ogni $x$ in $[a,b]$
Da (5)e (6) si ha $\bar f (x)=f(x)$ per ogni $x$ in $]a,b]$.
Abbiamo dunque dimostrato che se $f_n\to f$ uniformemente su $]a,b]$, allora esiste un prolungamento continuo $\bar f$ di $f$
a tutto $[a,b]$ tale che $f_n\to\bar f$ uniformemente su $[a,b]$
(1) $f_n\to f$ uniformemente su $]a,b]$.
DUNQUE
(2) $(f_n)$ è di Cauchy rispetto alla norma uniforme su $]a,b]$
DUNQUE (le norme uniformi su $]a,b]$ e su $[a,b]$ coincidono sulle funzioni continue)
(3) $(f_n)$ è di Cauchy rispetto alla norma uniforme su $[a,b]$
DUNQUE (completezza)
(4) esiste il limite uniforme su $[a,b]$ delle $(f_n)$ -- lo chiamiamo $\bar f$. $\bar f$ è continua su $[a,b]$
MA dato che la convergenza uniforme implica la convergenza puntuale
(5) $f_n(x)\to f(x)$ per ogni $x$ in $]a,b]$
(6) $f_n(x)\to\bar f (x)$ per ogni $x$ in $[a,b]$
Da (5)e (6) si ha $\bar f (x)=f(x)$ per ogni $x$ in $]a,b]$.
Abbiamo dunque dimostrato che se $f_n\to f$ uniformemente su $]a,b]$, allora esiste un prolungamento continuo $\bar f$ di $f$
a tutto $[a,b]$ tale che $f_n\to\bar f$ uniformemente su $[a,b]$
in questo esempio sta applicando il teorema? $ sum_(n=1 )pi /2 -Arctg(x^nsqrtn) $ la soluzione dice prima che c'e' convergenza puntuale in $ (1,+ $ oo $ ) $ e poi dice "non puo' esserci convergenza uniforme in tale intervallo poiche' cio' implicherebbe la convergenza puntuale in $ [1,+ $ oo $ ) $. Deriva dal teorema da te dimostrato?
Veramente quello che dici tu viene da una considerazione molto più semplice, e cioè che dalla convergenza uniforme su un insieme $A$ segue la convergenza puntuale sullo stesso insieme.
Mi pare...
Mi pare...
appunto da convergenza uniforme in (1,+ infinito) deriva la convergenza puntuale nello stesso insieme(che e' proprio l'intervallo) quindi non si raggiunge nessuna contraddizione.non riesco a capire.-.
Ah. OK. Allora la domanda diventa come mai (nell'esempio concreto) la serie ottenuta mettendo $x=1$ non è più convergente.
Per questo mi pare inevitabile stimare $\pi/2-\arctan(\sqrt{n})$ per $n\to\infty$. Nota che
$$\lim_{x\to\infty}\frac{\pi/2-\arctan(x)}{1/x}=1$$
Lo puoi vedere con de l'Hospital derivando numeratore e denominatore:
$$\frac{0-1/(1+x^2)}{-1/x^2}=\frac{x^2}{1+x^2}\to1 (x\to+\infty)$$
Dunque (mettendo $x=\sqrt{n}$) trovi che $a_n:=\pi/2-\arctan(\sqrt{n})$ è asintorica a $b_n:=\frac{1}{\sqrt{n}}$ ($a_n/b_n\to1$). Inoltre $a_n\geq0$, $b_n\geq0$ e $\sum_{n=0}^\infty b_n=+\infty$ (serie armonica di esponente $1/2<1$). Per i criteri sulle serie numeriche a termini positivi ne segue che anche $\sum_{n=1}^\infty a_n=+\infty$.
Questo significa che la serie di funzioni da cui sei partito diverge per $x=1$ e quindi non c'è convergenza puntuale in $x=1$.
Per questo mi pare inevitabile stimare $\pi/2-\arctan(\sqrt{n})$ per $n\to\infty$. Nota che
$$\lim_{x\to\infty}\frac{\pi/2-\arctan(x)}{1/x}=1$$
Lo puoi vedere con de l'Hospital derivando numeratore e denominatore:
$$\frac{0-1/(1+x^2)}{-1/x^2}=\frac{x^2}{1+x^2}\to1 (x\to+\infty)$$
Dunque (mettendo $x=\sqrt{n}$) trovi che $a_n:=\pi/2-\arctan(\sqrt{n})$ è asintorica a $b_n:=\frac{1}{\sqrt{n}}$ ($a_n/b_n\to1$). Inoltre $a_n\geq0$, $b_n\geq0$ e $\sum_{n=0}^\infty b_n=+\infty$ (serie armonica di esponente $1/2<1$). Per i criteri sulle serie numeriche a termini positivi ne segue che anche $\sum_{n=1}^\infty a_n=+\infty$.
Questo significa che la serie di funzioni da cui sei partito diverge per $x=1$ e quindi non c'è convergenza puntuale in $x=1$.
ma allora da questo non dovremmo dedurre che non puo' esserci conv.uniforme in [1,+ infinito) in quando altrimenti ci sarebbe convergenza puntuale in x=1?perche' invece dobbiamo esclude la conv.uniforme in(1,+infinito)?ti prego di risolvermi questo dubbio 
Mi sono accorto di aver letto male gli intervalli negli ultimi messaggi.
Scusa.
Hai ragione tu. Ci vuole il "mio" teorema. Cioè se convergesse uniformemente nell'aperto convergerebbe uniformente sul chiuso ( per la continuità delle funzioni ), dunque convergerebbe puntualmente in 1 cosa che non può fare.
Scusa.
Hai ragione tu. Ci vuole il "mio" teorema. Cioè se convergesse uniformemente nell'aperto convergerebbe uniformente sul chiuso ( per la continuità delle funzioni ), dunque convergerebbe puntualmente in 1 cosa che non può fare.
Perfetto grazie mille. E' bello parlare di matematica con voi. Alla prossima 
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